Теоретические сведения к практической работе. Если заменить график функции на каждом отрезке не отрезками прямых, как в методах прямоугольников и трапеций

Если заменить график функции на каждом отрезке не отрезками прямых, как в методах прямоугольников и трапеций, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного значения интеграла .

Предварительно найдем вспомогательную площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой y = ax² + bx + c, прямыми x = -h, x = h и отрезком [ -h; h ].

Пусть парабола проходит через точки М₁ (-h; у₀),

М₂ (0; у₁) и М₃ (h; у₂).

(6)

тогда полученная площадь:

(1)

Выразим полученное значение через у_0, у₁ и у₂. Используя формулы (6) получим c = y₁, . Подставляя полученные значения в (7) получим:

(2)

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная функциями y = f (x), x = a, x = b, y = 0.

1. Разобьем отрезок [a; b] на 2п равных частей. Получим отрезки длиной (3)
2. В точках деления вычислим значения функции

y = f (x): у₀, у₁, у₂,......, у_2п-2, у_2п-1, у_2п.

1. Заменим каждую пару соседних криволинейных трапеций параболическими трапециями с основаниями, равными 2h.

На отрезке [ x₀; x₂ ] парабола проходит через точки (х₀; у₀), (х₁; у₁), (х₂; у₂).

Используя формулу (1) получим

Аналогично на отрезке [ x₂; x₄ ]: и т. д. до

Следовательно:

=

Учитывая погрешность вычислений и , получим формулу Симпсона

(4)

Абсолютная погрешность метода оценивается соотношением:

где (5)

Пример:

Вычислить интеграл , используя метод парабол при п = 4.

Решение.

Количество разбиений 2п = 8, , f (x)= x³

Составим таблицу:

Х	y0 , y8	учетное	унечетное
x0 =0	y0 = f(0) = 03 = 0
x8 = 2	y8 = f(2) = 23 = 8

Рассмотрим погрешность метода:

= 0 (Доказать самостоятельно).

По формуле Симпсона получаем:

=

Содержание практической работы