Теоретические сведения к практической работе. Производной функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:

Производной функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:

(1)

Обозначения производной в точке х ₀:

и другие.

Если функция в точке х ₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования

№ пп	U = u (x), V = V (x) — дифференцируемые функции	№ пп	U = u (x), V = V (x) — дифференцируемые функции
I		VI	Производная сложной функции
II		VII	Функция задана параметричес-кими уравнениями
III
IV		VIII	Если и — взаимно обратные функции, то
V

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп	с =const, х — независимая переменная, u = u (x) — диф­ференцируемая функция
	С ’= 0
	x ’= 1

Пример 1. Найти производные функций:

а) б) в) г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t =1, получим:

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v =1; используя формулу (3), получим:

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t =1, получим:

Пример 2. Найти производную , если функция задана парамет-рически:

Используем правило VII

Пример 3. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

Содержание практической работы