Дедуктивные умозаключения

В логике существует два подхода к определению дедукции.

В традиционной (аристотелевской) логике под дедукцией понимают переход от общего знания к частному.

В символической логике дедукция – это умозаключение, дающее истинное суждение (Далее этот термин будет использоваться в традиционном толковании).

Дедуктивные умозаключения в зависимости от количе­ства исходных посылок делятся на непосредственные и опосре­дованные.

Умозаключение, полученное посредством преобразования од­ного суждения, называется непосредственным.

Если же в нем две или больше посылки, то это опосредован­ное умозаключение.

В формальной логике выделяют следующие виды непосред­ственных умозаключений: превращение, обращение, противопостав­ление предикату и умозаключение по логическому квадрату.

Превращение – это логическая операция, посредством кото­рой суждение преобразуют в суждение, противоположное по каче­ству, с предикатом, противоречащим предикату исходного сужде­ния. Например: «Петров является учащимся». («Петров не явля­ется не учащимся»). S есть Р (S не есть не-Р). Иными словами, утвердительные суждения превращаются в отрицательные, а отрицательные в утвердительные, при этом предикат изменяется на противоречащее ему понятие. Это бывает необходимо, когда необходимо, например, уточнить те или условия, в которых предикат действительно относится к субъекту. Например, если написано: «к экзаменам допускаются лица, имеющие аттестат о среднем образовании». А только ли они? И нельзя ли участвовать тем, кто такого аттестата не имеет? Обычно автоматически в таких случаях проделывается превращение: «к экзамену не допускаются лица, не имеющие аттестата о среднем образовании».

Главное в превращении, как и в любом другом непосредственном умозаключении, чтобы смысл исходного суждения не пострадал, он может быть лишь уточнен. А для этого существует правило превращения: двойное отрицание равносильно утверждению. Совсем как в математике. При этом существует разница в превращении утвердительных и отрицательных суждений. В первом случае двойное отрицание распределяется так: перед связкой и перед предикатом. Например: Все (некоторые) S есть P превращается в Ни одно (некоторые) S не есть не–P.

В отрицательных суждениях, где связка уже изначально отрицательная, это самое отрицание переносят к предикату. В этом случае получается следующая картина: Ни одно (некоторые) S не есть P превращается в суждение Все (некоторые) S есть не-P.

Превращать можно любое суждение. Общеутвердительное суждение превращается в общеотрицательное («Все студенты нашей группы являются

гражданами РФ. Следовательно, ни один студент нашей группы не является не гражданином РФ»), об­щеотрицательное в общеутвердительное («Все волки не явля­ются травоядными животными. Следовательно, все волки явля­ются нетравоядными животными»), частноутвердительное в частноотрицательное («Некоторые государства являются унитар­ными. Следовательно, некоторые государства не являются не­унитарными»), а частноотрицательное превращается в частноутвердительное («Некоторые животные не являются кошками. Следовательно, некоторые животные являются не кошками»).

Обращение – это логическая операция, посредством которой происходит преобразование суждения, в результате которого субъект исходного суждения становится предикатом нового суж­дения предикат – субъектом. Например: «Все выпускники юри­дического факультета КГУ изучали логику. Следовательно, не которые изучавшие логику – выпускники юридического фа­культета КГУ».

В процессе операции обращения необходимо подчиняться следующему правилу: Термин, нераспределенный в посылке, не дол­жен быть распределен в заключении. (Распределенный термин – это термин, взятый в полном объеме).

Если в процессе обращения количественная характеристика остается такой же, то это обращение называю простым (чис­тым). Например: «Некоторые студенты нашей группы – отлич­ники. Следовательно, некоторые отличники – студенты нашей группы».

В тех случаях, когда количественная характеристика в ре­зультате логической операции меняется, то такое обращение назы­вается обращением с ограничением. Например: «Все россияне име­ют право на социальную защиту. Следовательно, некоторые име­ющие право на социальную защиту – россияне».

Общеутвердительное суждение, в котором субъект распре­делен, а предикат не распределен, обращается в частноутвердительное, т. е. с ограничением (см. пример выше).

Общеотрицательное суждение обращается в общеотрица­тельное. Например: «Все депутаты Государственной Думы не могут быть подвергнуты административному наказанию. Следо­вательно, ни один, подвергнувшийся административному на­казанию, не может быть депутатом Государственной Думы».

Частноутвердительное обращается в частноутвердительное. Например: «Некоторые студенты нашей группы проживают в центре г. Альметьевска. Следовательно, некоторые проживающие в центре г. Альметьевска отличники – студенты нашей группы».

Частноотрицательное суждение не обращается. Проверим это на примере: некоторые животные не являются хищниками, значит ни один хищник не является животным (???), или все хищники – животные, это столь же абсурдно.

Противопоставление предикату – это логическая операция, посредством которой происходит преобразование суждения, в ре­зультате которого субъектом становится понятие, противореча­щее предикату, а предикатом – субъект исходного суждения. При­мер противопоставления предикату суждения: «Все студенты нашей группы любят посещать занятия по логике. Следователь­но, ни один человек, не любящий посещать занятия по логике, не является студентом нашей группы».

Необходимо помнить, что противопоставление предикату является результатом превращения и обращения, т. е. данная логическая операция состоит из двух этапов. Сначала из сужде­ния выводят заключение путем превращения, затем из этого заключения делают вывод путем обращения. В итоге мы получа­ем умозаключение противопоставления предикату.

Путем противопоставления предикату общеутвердительное суждение преобразуется в общеотрицательное. Например: «Все лошади – млекопитающие. Следовательно, ни одна лошадь не является не-млекопитающим и ни одно не-млекопитающее не является лошадью». Еще пример: «Некоторые рабочие не являются фрезеровщиками. Следовательно, некоторые рабочие являются не-фрезеровщиками и некоторые не-фрезеровщики – рабочие». Или: «Ни один экзамен не является зачетом. Следовательно, все экзамены являются не-зачетами и некоторые не-зачеты – экзамены».

Общеотрицательное суждение путем противопоставления предикату преобразуется в частноутвердительное. Например: «Ни один студент нашего курса не имеет двойного гражданства. Сле­довательно, некоторые имеющие недвойное гражданство – сту­денты нашего курса».

Частноотрицательное суждение преобразуется в частноут­вердительное. Например: «Некоторые студенты не являются со­вершеннолетними. Следовательно, некоторые несовершеннолет­ние являются студентами».

Частноутвердительное суждение посредством противопоставления предикату не преобразуется.

Можно строить умозаключения по логическому квадрату, устанавливая следование истинности или ложности одного суж­дения из истинности или ложности другого суждения (см. рис. 10).

Выводы из отношений контрадикторности:

Аи→Ол; Аи→Ои; Ои→Ал; Ол→Аи; Еи→Iл; Ел→Iи; Iи→Ел; Iл→Еи; Например: Если суждение «Все киты – млекопитаю­щие» (А) истинно, то суждение «Все киты – не млекопитаю­щие» (О) будет ложным (Аи→Ол).

Выводы из отношений контрарности: Аи→Ел; Ал→Е?; Еи→Ал; Ел→А?

Выводы из отношений субконтрарности: Iл→Ои; Iи→О?; Ол→Iи; Ои→I?

Выводы из отношений подчинения: Аи→Iи; Еи→Ои; Iи→А?; Ои→Е; Iл →Ал; Ол→Ел; Ал→I? Ел→О?;

Основным видом опосредованного умозаключения (в нем следствие получают из двух и более посылок) является кате­горический силлогизм, который представляет собой вид дедуктив­ного умозаключения, в котором из двух посылок, имеющих общий для них термин, необходимо следует заключение. Простой категорический силлогизм состоит из трех категорических суждений: из двух посылок и заключения.

Понятия, входящие в состав силлогизма, называют термина­ми силлогизма.

Их всего три: меньший (S), больший (Р) и средний (М).

• Все студенты нашей группы (М) сдали экзамен по философии (P).

Петров (S) – студент нашей группы (М).

Петров (S) сдал экзамен по философии (Р).

• Все М есть Р.

S есть М.

S есть Р.

Меньший термин силлогизма – это понятие, которое в зак­лючении является субъектом; больший – это понятие, которое в заключении является предикатом; средний – это термин, связы­вающий две посылки, и отсутствующий в заключении.

Посылка, в которую входит меньший термин, называется мень­шей посылкой; посылка, в которую входит больший термин, назы­вается большей посылкой.

В формальной логике сформулирована аксиома силлогиз­ма, которая гласит: Все, что утверждается (отрицается) отно­сительно всех предметов данного класса (рода), утверждается (отрицается) относительно каждого предмета этого класса (рода). Другими словами: Все, что мы утверждаем обо всех сту­дентах данной группы (см. пример), также относится и к каж­дому из них.

Для того чтобы из истинных посылок всегда можно было получить истинное заключение, необходимо соблюдать общие правила категорического силлогизма, три из которых относятся к терминам и четыре – к посылкам.

1-е правило терминов. В каждом силлогизме должно быть только три термина. При нарушении этого правила возникает ошибка учетверения термина. Учетверение чаще всего происходит вследствие употребления омонимов, дающих возможность различного толкования исходных понятий Часто на нарушении этого правила строятся софизмы. Например:

Движение вечно.

Хождение на базар – движение.

Хождение на базар вечно.

2-е правило терминов. Средний термин должен быть рас­пределен хотя бы в одной из посылок. Если средний термин не распределен ни в одной из посылок, то связь между крайними терминами остается неопределенной. Например:

Некоторые учащиеся (М-) – неуспевающие (Р).

Все студенты (S) – учащиеся (М-).

Все студенты S – неуспевающие (Р).

Здесь средний термин не распределен, поэтому заключе­ние является ложным.

3-е правило терминов. Термин, нераспределенный в посылке, не может быть распределен и в заключении. При нарушении это­го правила в заключении говорится больше, чем в посылках. Например:

Все нотариусы (М) имеют юридическое образование (Р-).

Адвокаты (S) – это не нотариусы(ЛГ).

Адвокаты (S) не имеют юридического образования (Р+).

Больший термин (Р) не распределен в посылке, но он распределен в заключении. Поэтому заключение здесь ложное.

Ошибка, связанная с нарушением правила распределенности крайних терминов, называется незаконным расширением меньше­го (или большего) термина.

Следующие четыре правила относятся к посылкам.

4-е правило (посылок). Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением, поскольку из двух отрицатель­ных посылок заключение с необходимостью не следует. Средний термин не может установить определенного отношения между крайними терминами, так как они исключаются из него. На­пример:

Обезьяны – не пресмыкающиеся.

Змеи – не обезьяны.

?

5-е правило (посылок). Если одна из посылок — отрица­тельное суждение, то и суждение должно быть отрицательным. Например:

Все студенты – учащиеся.

Этот человек – не учащийся.

Этот человек – не студент.

6-е и 7-е правила (посылок) являются производными, вы­текающими из рассмотренных 4-го и 5-го.

6-е правило. Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключения с необходи­мостью не следует. Например:

Некоторые виды обезьян обитают в Африке.

В Красную книгу занесены некоторые виды обезьян.

?

7-е правило. Если одна из посылок – частное суждение, то и заключение должно быть частным.

Все волки – хищные животные.

Это животное – волк.

Это животное является хищным.

Рис 11. Фигуры силлогизма

В зависимости от положения среднего термина в посылках различают четыре вида категорических силлогизмов, которые в традиционной логике принято называть фигурами силлогизма (см. рис. 11). В посылках простого категорического силлогизма средний тер­мин может занимать место субъекта или предиката.

В первой фигуре средний термин занимает место субъекта в большей и место предиката в меньшей посылке. Она самая распространенная и позволяет сопоставлять частное знание, выраженное в меньшей посылке с общими положениями, содержащимися в большей посылке. Именно таким образом мы строим свои рассуждения, когда нам необходимо уяснить конкретные вопросы на основе имеющегося общего правила

У каждой фигуры есть свои правила. Правила первой фигуры таковы:

1) Большая посылка – общее суждение (А, Е).

2) Меньшая посылка – утвердительное суждение (А, I).

Все студенты (М) нашей группы пришли на лекцию (Р).

Сидоров (S) – студент нашей группы (М).

Сидоров (S) пришел на лекцию (Р).

Попробуйте построить рассуждение, нарушая эти правила, и придете к абсурду. Сравним умозаключение, соответствующее правилам с умозаключением, им не соответствующим:

Все спортсмены – закаленные люди (большая посылка – А)

Некоторые студенты – спортсмены (меньшая посылка – I)

Следовательно, некоторые студенты закаленные люди

Вывод получился частным (некоторые) в соответствии с правилом посылок: если одна из посылок суждение частное, то и вывод будет частным.

А если нарушить правила:

Все спортсмены – закаленные люди (большая посылка – А)

Ни один долгожитель не является спортсменом (меньшая посылка – Е)

Следовательно, ни один долгожитель не является закаленным человеком.

Но это явная ошибка, появившаяся вследствие того, что наличие в качестве меньшей посылки суждения Е противоречит второму правилу I фигуры.

Во второй фигуре средний термин находится на месте предиката в обеих посылках

Такой вариант рассуждений применяется при доказательстве ложности какого-либо положения путем отрицания принадлежности предмета, о котором говорится в меньшей посылке, к тому классу, о котором говорится в большей посылке. Это фигура отрицания, поэтому и выводом из нее всегда бывает отрицательное суждение. А получается оно в соответствии с правилом посылок (если одна из посылок - суждение отрицательное, то и вывод будет отрицательным). Соответственно, правила 2-й фигуры следующие:

1) Большая посылка– общее суждение.

2) Одна из посылок – отрицательное суждение.

Все гадюки (Р) – пресмыкающиеся (М).

Это животное (S) не является пресмыкающимся (М).

Это животное (S) не является гадюкой (Р).

Если поиграть с нарушением этих правил, то из этого может получиться довольно интересное рассуждение. Например, если попытаться сделать вывод из двух утвердительных суждений:

Все собаки имеют уши (суждение А)

Это существо имеет уши (суждение А)

То вывод будет явно опрометчивым: это существо – собака, но он единственно возможный в соответствии с данным ходом рассуждений. Даже если без особых на то оснований в форме приведенных суждений принять во внимание условие, что вывод должен быть отрицательным, нам все равно не удастся избавиться от необоснованности сделанного вывода.

Первая и вторая фигуры считаются самыми распространенными и соответствующими наиболее типичным путям нашей мысли. О третьей и четвертой фигурах этого сказать нельзя, но для полноты картины они всегда рассматриваются в логике, хотя и с оговорками.

Третья фигура симметрична второй: средний термин находится на месте субъекта в обеих посылках.

Правила 3-й фигуры.

1) Меньшая посылка – утвердительное суждение.

2) Заключение – частное суждение.

Пшеница (М) – растение (S).

Пшеница (М) – злак (Р).

Некоторые растения (S) – злаки (Р).

Наконец, симметричная первой, 4-я фигура силлогизма. Средний термин в ней занимает место предиката в большей посылке и субъекта в меньшей

Эта фигура носит искусственный характер, но все же иногда применяется.

Правила 4-ой фигуры:

1) Если большая посылка суждение утвердительное, то меньшая должна быть общей

2) Если одна из посылок суждение отрицательное, то большая должна быть общей.

3) При этом общеутвердительного вывода рассуждения по этой фигуре не дают.

В качестве примера можно привести следующее рассуждение:

Все дельфины (Р) – млекопитающие (М).

Ни одно млекопитающее (М) не есть рыба (S).

Ни одна рыба (S) не есть дельфин (Р).

Пожалуй, каждому ясно, что так «наоборот» мы действительно никогда не рассуждаем.

Каждая фигура имеет свои разновидности в зависимости от того, какие суждения в нее входят. Это модусы. В принципе их может быть 64. Но большая их часть противоречит либо общим правилам силлогизма, либо правилам той или иной фигуры. Поэтому в конечном итоге остается всего 19 модусов: по четыре в первой и второй фигурах, шесть в третьей и пять в четвертой. Они обозначаются тремя латинскими буквами в соответствии с тем, какие именно суждения в них входят (например, АЕЕ или ОАО и т.д.).