Управление системой

В определении динамической системы, которое было сформулировано в предыдущем параграфе, уже в некоторой степени нашел отражение тот факт, что динамическая система может рассматриваться как объект управления. В частности, входные воздействия, предназначенные для изменения состояния системы некоторым предписанным образом, были названы управлением.

Теперь нам необходимо конкретизировать понятие управления и дать ряд достаточно строгих определений. Предварительно заметим, что система управления создается для осуществления целенаправленных действий, в результате которых объект управления совершает движение в соответствии с установленными критериями. Это приводит к задаче нахождения входных воздействий, приводящих выходные величины к некоторому заданному виду и установленному критерию эффективности действия системы. Такая задача называется задачей оптимального управления, или просто задачей управления.

Пусть объектом управления является динамическая система в соответствии с определением 5.1. Объект управления будет иметь переходную функцию состояния

.

Со значениями и выходную функцию

,

имеющей значения

При изменении состояния объекта его выходная величина также будет изменяться, следовательно, на множестве можно определить пары для данного момента времени . На этом множестве некоторое подмножество , элементами которого являются заданные значения . Назовем подмножество целевым множеством. На множестве выделим подмножество , которое назовем множеством допустимых управлений.

Если теперь найдется такое входное воздействие (из множество допустимых управлений), которое преобразует событие , а следовательно, и выходную величину , таким образом, что множество значений величин

,

пересекается со множеством то время , за которое совершается этот процесс, назовем временем достижения (рисунок 5.7). Подчеркнем, что совсем необязательно на множестве будет иметься входное воздействие, обеспечивающее такое преобразование.

Образуем некоторую вещественную функцию, зависящую от значений входных и выходных величин и , состояние объекта и его свойств, определяемых функциями и

Очевидно, при наличии управления переводящего объект из состояния в состояние функция примет конкретное численное значение, равное

.

Назовем функцию функцией потерь качества управления и надлежащим выбором ее вида обеспечим уменьшение числа при повышении качества управления. В общей постановке задачи нет необходимости дальнейшей конкретизации этого понятия.

Определение 5.4. Общей задачей управления называется математическое понятие, образованное следующими условиями:

1) Объектом управления является динамическая система в соответствии с определением 5.1, имеющая переходную функцию состояния и выходную функцию Для объекта управления указано целевое множество и множество допустимых управлений

2) Задана функция потерь качества управления

и получен функционал потерь качества управления

, (5.12)

для данного момента времени достижения , начального момента времени , начального состояния

3) Необходимо для каждого данного события определить допустимое управление , которое преобразует событие таким образом, что множество значений пересекается с целевым множеством

, (5.13)

и которое минимизирует функционал потерь качества управления.

Данное определение задачи управления является наибольшее общим и пригодно для любого объекта, описываемого аксиомами определения 5.1.

Как уже отмечалось, важным классом динамических систем являются обыкновенные динамические системы, у которых переходная функция состояний удовлетворяет дифференциальному уравнению. В этом случае функционал потерь качества управления можно описать более конкретно.

Пусть есть некоторая вещественная функция вида

зависящая от управления времени достижения и вида переходной функции состояний . Функция должна выбираться таким образом, чтобы уменьшение ее значения определяло повышение качества управления. Определим, далее, непрерывную вещественную функцию зависящую от управления текущего времени и вида переходной функции состояния , интегрируемую на промежутке

Запишем функционал потерь качества управления в следующем виде:

. (5.14)

Первое слагаемое этого выражения, функция , характеризует качество управления в конечный момент времени и поэтому называется терминальной составляющей функционала. Второе слагаемое характеризует качество процесса перехода из состояния в момент в состояние в момент и называется переходной (или нестационарной) составляющей функционала.

В случае, когда обыкновенная динамическая система линейна, производящая функция примет вид

,

а выходная функция

При этом одним из распространенных критериев качества управления является квадратичный критерий. Функционал потерь качества управления формируется следующим образом.

Пусть задано отображение , значениями которого являются величины . Будем называть это отображение желаемым выходным сигналом. Тогда разность между желаемым выходным сигналам и текущим значением выходной величины будет характеризовать ошибку управления

и функционал потерь качества управления примет простой вид:

.

В этом случае задача управления сводится к выбору такого управления которое бы минимизировало ошибку управления и расход энергии управляющих органов.

Перейдем к формулированию понятия закона управления. Предварительно заметим, что принцип обратной связи в теории автоматического регулирования составляет ее основу и широко и всесторонне используется в технических приложениях. Однако методическая основа этого принципа долгое время оставалось неясной. Подтверждением этого обстоятельство является хотя бы то, что и до сих пор во многих руководствах по автоматическому регулированию приводится классификация систем управления из системы замкнутого и разомкнутого циклов регулирования. Именно здесь техническая сторона вопроса заслонила собой методологическую сторону.

Введенные определения динамической системы и задачи управления естественным образом приводят к формулировке понятия закона управления. В самом деле, переходная функция состояния определяет состояние системы в момент , если известно состояние системы в момент и отрезок входного воздействия на промежутке . Таким образом, вся информация, необходимая для определения требуемого управляющего воздействия , заключена в текущем состоянии системы.

Законам управления будет называться отображение

значениями которой будут величины управлений.

В общем случае определение затруднено тем обстоятельством, что соотношение

,

не указывает область существования функции при условиях, накладываемых на множество допустимых управлений .

Помимо этого, знание переменных состояние возможно лишь по данным о выходных величинах, что требует операции определения обратного отображения

значениями которой и будут искомые величины

Сверх того, если такая операция осуществима. Необходимо иметь возможность оценить точность определения , т.е. получать оценку состояния

Дадим строгое, определение понятия автоматического управления.

Определение 5.5. Автоматическим управлением динамической системой называется протекающий во времени процесс, удовлетворяющий следующим условиям:

1) Для объекта управления, удовлетворяющего определению 5.1, указаны целевое множество и множество допустимых управлений

2) Определено отображение, называемое законом управления

(5.15)

значениями которого являются величины управлений

. (5.16)

3) Управление переводит объект управления из состояния в состояние за отрезок времени называемый временем перехода, и минимизирует функционал потерь качества управления

4) Выходная функция определяет попадание выходной величины в целевое множество всякий раз, когда , и допускает обратное отображение

, (5.17)

со значениями

. (5.18)

5) Существует оценка состояния системы по значениям выходной величины

Из приведенного определения мы видим, что часть условий относится к некоторой системе, решающей задачу автоматического управления.

Назовем регулятором математическую модель системы, состоящую из элемента, обеспечивающего оценку состояния объекта управления и элемента, формирующего закон управления.

Структурно-логическая схема управления объектом показано на рисунке 5.8. Принадлежащее множеству управление воздействует на объект управления, обусловливая конкретные значения состояний и выходных величин . По значениям выходных величин определяются состояния или (при необходимости) их оценки из множества , и формируется закон управления Он и обеспечивает выбор из множества нужной величины управления . Качество управления контролируется а возможность управления - принадлежностью значений и целевому множеству

Сформулированные выше основные определения позволяют перечислить ряд задач общей теории систем, относящихся к проблеме управления.

а) Задача идентификации (реализации) системы.

В том случае, когда множеству управлений однозначно соответствует множество выходных величин , можно указать семейство функций, определяемых отображением

Каждая из которых ставит в соответствие управлению выходную величину

(5.19)

где i-номер данной зависимости.

В более сложном случае соответствие между и устанавливается, в свою очередь, через некоторые функции F и M этих величин

(5.20)

Построение математической модели динамической системы по этим данным и является задачей идентификации.

Чаще всего задача идентификации возникает тогда, когда по набору i-го количества экспериментальных данных, определяемых соотношениями (5.19) (5.20), необходимо определить внутренние свойства системы, например, переходную функцию состояний .

б) Задача управляемости и наблюдаемости системы.

Решение общей задачи управления требует выполнения условия, при котором необходимо найти такое управление , которое переводило бы систему из состояния в состояние . Однако выполнить это условие далеко не просто. В действительности мы не можем заранее знать, найдется ли такое множество управлений которое обеспечило бы пересечение множества с целевым множеством за конечное время . Возможно, что лишь некоторое подмножество будет обеспечивать пересечение подмножеств из множеств и т.е. часть управлений будет не полностью решать задачу управления. Может оказаться, что вообще не найдется непустого множества , удовлетворяющего условию общей задачи управления, то есть система будет неуправляема.

Таким образом ставится задача определения управляемости динамической системы, заключающаяся в нахождении условий, при которых переходная функция состоянии со значениями существовала бы и была отлична от нуля всех управлений . Выполнение одного из условий управления объектом требует знания текущего состояния системы по значениям выходной величины т. е. существования отображения . Задачей определения наблюдаемости динамической системы и является установление условий, при которых это отображение существует и отлично от нуля для всех и

в) Задача оптимального управления.

Одной из основных задач теории систем является нахождение способов построения закона управления при заданных множествах , обеспечивающего минимизацию функционала потерь качества управления

.

Это – задача оптимального управления.

Контрольные вопросы

1) Как определяется понятие управление системой?

2) Как определяется понятие автоматического управления динамической системой?

3) Какие системы называются разомкнутыми какие замкнутыми?

4) Какие функции выполняет регулятор?