Задача К3

Определение скоростей и ускорений точек в планетарных механизмах

В планетарном механизме шестерня 1 радиуса R неподвижна, а кривошип ОА, вращаясь вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, приводит в движение свободно насаженную на конец А шестерню 2 радиуса r. Для указанного на рисунке положения механизма найти скорости и ускорения точек А и В, если для соответствующего момента времени известны абсолютные величины угловой скорости и углового ускорения кривошипа . На рисунках условно показаны направления угловой скорости и углового ускорения дуговыми стрелками вокруг оси вращения. При этом направление угловой скорости соответствует направлению вращательного движения кривошипа. Угловое ускорение направлено в сторону угловой скорости при ускоренном вращении и в противоположную – при замедленном.

Исходные данные

Решение

Рассмотрим последовательно движения каждого из двух подвижных звеньев планетарного механизма. Начинать при этом необходимо со звена, угловая скорость и угловое ускорение которого заданы. Таким образом, начнём исследование кинематики механизма с кривошипа.

1. Кривошип ОА совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Определим скорость и ускорение точки А кривошипа, которая одновременно принадлежит и подвижной шестерне 2.

Абсолютная величина скорости точки А определяется по формуле

. (1)

Для заданного положения механизма

. (2)

Вектор скорости направлен перпендикулярно ОА (радиусу вращения) в направлении вращения, указанному на рис. 1 дуговой стрелкой .

Рис. 1

Ускорение точки А представим разложенным на касательную и нормальную составляющие

. (3)

Величины нормального () и касательного () ускорений определяются соответственно по формулам:

, (4)

. (5)

Для заданного положения механизма

, (6)

. (7)

При этом нормальное ускорение точки А () направлено по радиусу окружности, описываемой к центру этой окружности – к точке О.

Касательное ускорение () направлено по касательной к этой окружности (перпендикулярно ОА) в сторону, указанную дуговой стрелкой . Это объясняется тем, что при замедленном вращении (по условию задачи кривошип ОА вращается замедленно), касательное ускорение направляется в сторону, противоположную направлению вращения, указанного дуговой стрелкой . В то же время при замедленном вращении угловое ускорение направляется также в сторону, противоположную направлению угловой скорости.

Величина ускорения точки А в соответствии с соотношением (3) и с учётом (6) и (7) для заданного положения механизма определится по формуле:

.

2. Шестерня 2 совершает плоскопараллельное (плоское) движение. Учитывая, что шестерня 2 катится без скольжения по неподвижной шестерне 1, мгновенный центр скоростей (точка ) подвижной шестерни будет находиться в точке соприкосновения двух шестерен (рис. 1).

Для заданного положения планетарного механизма выше определена скорость центра шестерни 2 (точки А). Таким образом, зная величину скорости одной из точек и положение мгновенного центра скоростей подвижной шестерни, можно определить величину её мгновенной угловой скорости (ω₂) по формуле

, (7)

где расстояние .

В результате подстановки значения и (1) в соотношение (7) получим

. (8)

Для заданного положения механизма

. (9)

Направление мгновенного вращения шестерни 2 вокруг мгновенного центра скоростей (точка ), определяемое направлением скорости точки А (), условно показано на рис. 1 дуговой стрелкой ω₂.

Шестерня 2 в указанном положении движется замедленно. Это следует из сопоставления направлений векторов и (они направлены в противоположные стороны). Следовательно, угловое ускорение шестерни 2 (ε₂) направлено в сторону, противоположную направлению угловой скорости ω₂, что условно показано на рис.1 дуговой стрелкой ε₂.

Величину углового ускорения ε₂ определим по формуле

(10)

Учитывая (8), на основании (10) получим

, (11)

где - величина углового ускорения кривошипа ОА. Для заданного положения механизма

. (12)

Таким образом, для некоторого момента времени найдены положение мгновенного центра скоростей, угловая скорость, угловое ускорение подвижной шестерни 2, а также ускорение точки А. это позволяет найти скорость и ускорение любой точки шестерни.

Прежде всего определим абсолютную величину скорости точки В по формуле

, (13)

где В – расстояние от точки В до мгновенного центра скоростей. Расстояние В определим из треугольника АВ . Этот треугольник равносторонний и следовательно,

. (14)

Для заданного положения механизма, учитывая (9) и (14), на основании (13) получим

. (15)

Вектор скорости направлен перпендикулярно прямой В . Ускорение точки В можно найти на основании теоремы об ускорениях точек плоской фигуры, приняв точку А за полюс

, (16)

где и - соответственно нормальное и касательное ускорения точки В при относительном вращательном движении шестерни 2 вокруг полюса А. Учитывая (3), формулу (16) представим в виде

. (17)

Величины нормального () и касательного () ускорений точки В при относительном вращательном движении шестерни 2 вокруг полюса А определяются по формулам

, (18)

. (19)

Для заданного положения механизма на основании (18) и (19) с учётом (9) и (12) получим

, (20)

. (21)

При этом нормальное ускорение направлено вдоль ВА к центру относительного вращения (к полюсу А), а касательное ускорение направлено перпендикулярно прямой АВ в сторону, указанную дуговой стрелкой ε₂.

Таким образом, найдены модули четырёх векторов ускорений, стоящих в правой части векторного равенства (17), и показаны их направления в точке В. По рис. 1 найдём ускорение точки В как геометрическую сумму четырёх показанных в точке ускорений аналитическим способом. Для этого спроектируем векторы, стоящие в правой и левой части равенства (17), на две оси координат х, у (рис. 1)

, (22)

, (23)

Учитывая (6), (7), (20) и (21), на основании (22) и (23) найдём для заданного положения механизма проекции ускорения точки В на оси х, у

,

.

Проекции вектора ускорения (лежащего в плоскости ху) на две оси координат полностью определяют его модуль и направление. Итак, величина

.

Варианты заданий

ЛИТЕРАТУРА

1.Яблонский А.А., Норейко С. С. и др. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. – М.: Высшая школа, 1985. – 367 с.

2.Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания. Для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений. Издание четвёртое. Под редакцией проф. С.М. Тарга. М.: Высшая школа, 1989. –111 с.

3.Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика. Сборник заданий: Учебное пособие. – СПб.: Изд-во «Лань», 2009. –192 с.