Задача К2

Определение скоростей и ускорений точек в передаточных механизмах

Движение груза 1 в механизме на рис. 1 описывается уравнением

, (1)

где c₀, c₁, c₂ - некоторые постоянные, t – время в секундах.

В начальный момент времени (t = 0) координата груза – x₀, его скорость – v₀. Координата груза в момент времени t = t₂ равна x₂.

Определить коэффициенты , при которых осуществляется требуемое движение груза 1; определить в момент времени t = t₁ скорость и ускорение груза и точки M одного из колёс механизма.

Исходные данные

Решение

Уравнение движения груза 1 имеет вид (1) и его коэффициенты могут быть определены из следующих условий

при (2)

при t = (3)

Скорость груза 1

. (4)

Подставим (2) и (3) в формулы (1) и (4) и получим

14 = с₀, 168 = с₂ ·2² + с₁ · 2 + 14, 5 = с₁.

Отсюда легко находим

Таким образом, уравнение движения груза 1

Скорость груза 1

(5)

Ускорение груза 1

.

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза v и угловые скорости колес ω₂ и ω₃. В соответствии со схемой механизма

.

Отсюда

,

или с учетом (5) после подстановки данных

В момент времени t₁

ω₃ = 2,215 · 1 +0,154 =2,369 рад/с.

Угловое ускорение колеса 3

Определим скорость точки М, её касательное, нормальное и полное ускорения

см/с;

a_n = r₃ ω =40·2,3692 = 224,5 см/с²;

a_τ = r₃ ε₃ =40·2,215 = 88,6 см/с²;

Результаты вычислений для заданного момента времени с приведены в таблице

Таблица результатов вычислений

		2,37	2,22	94,8		88,6

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 2.

Варианты заданий