Формализация рассуждений. Правильные рассуждения

Рассуждение – это построение нового высказывания D на основании уже имеющихся высказываний P ₁, P ₂,..., P_n. Высказывания P ₁, P ₂,..., P_n называются посылками, а высказывание D – заключением.

Определение 1.6. Рассуждение называется правильным, если из конъюнкции посылок следует заключение, т. е. формула P ₁& P ₂&... & P_n É D тождественно-истинна.

Таким образом, если все посылки истинны (т. е. их конъюнкция равна И), то истинное заключение соответствует правильному рассуждению, а ложное заключение – неправильному. При ложности хотя бы одной из посылок независимо от истинностного значения заключения рассуждение будет правильным.

Схематически рассуждение изображается следующим образом:

P ₁, P ₂,..., P_n

D

Пример 1.22.

Проверить правильность следующих рассуждений:

а) “Если книга сложная, то она неинтересная. Эта книга интересная. Значит, она несложная”.

Введем высказывания: А = “Книга сложная”; B = “Книга интересная”. Схема рассуждения имеет вид:

А É Ø B, B

Ø А

Докажем, что формула ((А É Ø B) & B) É Ø А является тождественно-истинной. Приведем эту формулу к КНФ и воспользуемся теоремой 1.1:

((А É Ø B)& B) É Ø А º Ø((А É Ø B)& B) Ú Ø A º (A & B) ÚØ B Ú Ø A º (Ø А Ú Ø B Ú A)&(Ø A Ú Ø B Ú B) º И.

Значит, рассуждение правильное.

б) “Если будет хорошая погода, я пойду гулять. Если будет плохая погода, я буду читать книгу. Погода будет хорошая. Следовательно, я не буду читать книгу”.

Введем высказывания: А = “Будет хорошая погода”; B = “Я пойду гулять”. C = “Я буду читать книгу”. Схема рассуждения имеет вид:

А É B, Ø A É С, A _.

ØС

Найдем КНФ формулы ((А É B) & (Ø A É С) & A) É Ø C:

((А É B) & (Ø A É С) & A) É Ø C º Ø((А É B) & (Ø A É С) & A) Ú Ø C º Ø(А É B) Ú Ø(Ø A É С) ÚØ A) Ú Ø C º А & Ø B Ú Ø A & ØС ÚØ A Ú Ø C º А & Ø B Ú Ø A Ú Ø C º (А Ú Ø A Ú Ø C) & (Ø B Ú Ø A Ú Ø C) º Ø B Ú Ø A Ú Ø C.

Полученная КНФ нашей формулы не содержит одновременно какой-либо переменной и ее отрицания. Следовательно, формула не является тождественно-истинной, а рассуждение не является правильным.

Контрольные вопросы к теме 2

1. Как называется сложное высказывание,

а) истинное тогда и только тогда, когда все составляющие его простые высказывания истинны?

б) истинное тогда и только тогда, когда составляющие его простые высказывания либо вместе истинны, либо вместе ложны?

в) истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из составляющих его простых высказываний?

г) ложное тогда и только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно?

Варианты ответа: 1 – дизъюнкция; 2 – конъюнкция; 3 – импликация; 4 – эквивалентность.

2. Какое из следующих утверждений верно:

а) Рассуждение является правильным, если из заключения следует конъюнкция посылок.

б) Рассуждение является правильным, если из конъюнкции посылок следует заключение.

в) Рассуждение является правильным, если конъюнкция посылок и заключения является тождественно-истинной формулой.

3. Какие из следующих утверждений верны:

а) Формула является тождественно-истинной тогда и только тогда, когда в ее КНФ в любую элементарную дизъюнкцию одновременно входят какая-либо переменная и ее отрицание.

б) Формула является тождественно-истинной тогда и только тогда, когда в ее ДНФ в любую элементарную конъюнкцию одновременно входят какая-либо переменная и ее отрицание.

в) Формула является тождественно-ложной тогда и только тогда, когда в ее КНФ в любую элементарную дизъюнкцию одновременно входят какая-либо переменная и ее отрицание.

г) Формула является тождественно-ложной тогда и только тогда, когда в ее ДНФ в любую элементарную конъюнкцию одновременно входят какая-либо переменная и ее отрицание.