Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом курсе будем иметь дело только с последними.

Теорема (О существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть

- дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция f(t,x) задана на некотором открытом множестве D плоскости R²(t,x) переменных t, x. Относительно функции f(t,x) будем предполагать, что она непрерывна на D и удовлетворяет на этом множестве условию Липшица (1.4) относительно x (равномерно по t). Теорема утверждает, что:

1) для всякой точки (t₀, x₀) Î D найдется решение x = j(t) уравнения (1.5), удовлетворяющее начальному условию

(1.6)

2) если два решения x = y(t) и x = c(t) уравнения (1.5) совпадают хотя бы для одного значения t₁, т.е. если

то эти решения тождественно равны для всех значений переменного t, для которых они оба определены.