Вероятности гипотез. Формулы Байеса

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B₁, B₂,..., B_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Байеса:

Р_А(В_i) = (i = 1, 2, ..., n),

где Р(А) = Р(В₁)×Р_B1(А)+Р(В₂)×Р_B2(А) +... +Р(В_n)×Р_Bn(А).

Пример 15. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым - 0,98. Деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

1) деталь проверил первый контролер (гипотеза В₁);

2) деталь проверил второй контролер (гипотеза B₂).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса

Р_А(В₁) = .

По условию задачи имеем:

P(B₁) = 0,6 (вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру);

Р(В₂) = 0, 4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);

Р_В1 (А) = 0,94 (вероятность того, что деталь будет признана первым контролером стандартной);

Р_В2 (А) = 0,98 (вероятность того, что деталь будет признана вторым контролером стандартной).

Искомая вероятность:

Р_А(В₁) =

Пример 16. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.

Решение. Обозначим события:

А - в мишени одна пробоина (одно попадание);

А₁ - первый стрелок попал в мишень P(А₁) =0,8;

А₂ - второй стрелок попал в мишень P(А₂) =0,4;

- первый стрелок промахнулся

- второй стрелок промахнулся

Можно выдвинуть четыре гипотезы:

B₁ - только первый стрелок попал в мишень, второй - промахнулся:

Р(В₁) = Р(А_{1 2})=Р(А₁)×Р( ₂)= 0,8×0,6=0,48,

B₂ - первый стрелок промахнулся, только второй стрелок попал в мишень:

Р(В₂) = Р( ₁А₂)=Р( ₁)×Р(А₂)= 0,2×0,4=0,08;

В₃ - оба стрелка не попали в мишень:

Р(В₂)= Р( )=Р( ₁)×Р( )= 0,2×0,6=0,12;

B₄ - оба стрелка попали в мишень:

Р(В₂) = Р(А₁А₂)=Р(А₁)×Р(А₂)= 0,8×0,4=0,32.

Найдем условные вероятности события А:

Р_В1 (А) = 1 (вероятность того, что одна пробоина сделана первым стрелком);

Р_В2 (А) = 1 (вероятность того, что одна пробоина сделана вторым стрелком);

Р_В3 (А)=0 (вероятность того, что в мишени одна пробоина, если оба попали);

Р_В2 (А)=0 (вероятность того, что одна пробоина, если оба промахнулись).

Искомую вероятность того, что попал первый стрелок, найдем по формуле Бейеса