Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого события.

Условной вероятностью Р_А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А) ·Р_А (В).

Для трех зависимых событий будем иметь:

Р(АВС)=Р(А)×Р_А (В)×Р_АВ (С).

Пример 9. В урне находится 5 белых, 7 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором - черный (событие В) и при третьем - синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании:

.

Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность:

Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором - черный:

Искомая вероятность:

Пример 10. Буква А написана на трех карточках, буква Н - на двух карточках, буква С - на одной карточке. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность получить слово "АНАНАС"?

Решение. Пусть событие В -получение слова "АНАНАС". Событие В наступит, если первой окажется карточка с буквой "А", второй -с буквой "Н", третьей -с буквой "А" и так далее. По теореме умножения зависимых событий получим: