Задачи для самостоятельной работы

1. Интеграл по объему преобразовать в интеграл по поверхности.

Указание. Воспользоваться представлением для и теоремами Остроградского-Гаусса.

1. Вычислить . Здесь - постоянный вектор, - радиус-вектор, - вектор нормали к площадке . Известно, что поверхность охватывает объем .

Указание. Воспользоваться тождествами векторной алгебры и теоремами Остроградского-Гаусса.

1. Преобразовать в интегралы по объему: , . Здесь - вектор нормали к площадке , - скалярное поле, - векторное поле. Воспользоваться теоремами Остроградского-Гаусса.

1. * Преобразовать в интеграл по объему: . Здесь - вектор нормали к площадке , - векторное поле, - постоянный вектор. Воспользоваться тождествами векторной алгебры и теоремами Остроградского-Гаусса.

1. Преобразовать в интегралы по поверхности: , . Здесь - скалярные поля. Воспользоваться теоремами Стокса.

[1] Лит-ра: Кудрявцев, т.2, с.281-291. Ильин и Позняк, т.2, с. 182-189. Не везде вводится требование пространственной односвязности области. Но если поле определено, например, на шаровом слое и не определено внутри слоя, а поверхность есть поверхность некоторой сферы, лежащей внутри шарового слоя, то как можно говорить о дивергенции поля в области, охватываемой?

[2] Не все авторы вводят это требование. Но если поле определено, например, внутри тора и не определено вне его, а кривая С – средняя окружность тора, то, какую бы поверхность, опирающуюся на С, мы ни выбрали, часть поверхности будет лежать вне области определения.