Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Основные теоремы векторного анализа
|
|
Определение. Область 
в евклидовом 3-х мерном пространстве называется пространственно - односвязной, если любую простую замкнутою поверхность типа сферы, лежащую в , можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из .
Примеры: шар, тор. Шаровой слой не является пространственно- односвязной областью.
Если область пространственно-односвязна, то любая простая замкнутая поверхность типа сферы ограничивает область, целиком лежащую в (например, указанный объем состоит из поверхностей, образующихся в ходе стягивания в точку исходной поверхности).
Определение. Область 
в евклидовом 3-х мерном пространстве называется поверхностно - односвязной, если любую простую замкнутою кривую, лежащую в , можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из .
Примеры: шар, шаровой слой. Тор не является поверхностно-односвязной областью.
Если область поверхностно-односвязна, то на любой замкнутый контур в этой области можно “натянуть” поверхность, целиком лежащую в .
(Например, указанная поверхность состоит из кривых, образующихся при стягивании в точку исходной кривой.)
Определение. Область, не являющаяся поверхностно-односвязной, называется многосвязной.
Примеры многосвязных областей: область внутри поверхности тора; область вне тора.
а). 
– внутренность тора. На контур 
не опирается ни одна поверхность, целиком лежащая в 
.
б). 
– внешность тора. На контур 
нельзя натянуть поверхность, целиком лежащую в .
Многосвязная пространственная область может быть превращена в односвязную введением дополнительных границ – “перегородок”, которые не дают возможности провести в области те замкнутые контуры, которые не могут быть стянуты в точку. Так, может быть сделана односвязной, если присоединить к ней перегородку 
; 
станет односвязной, если к её границам добавить перегородку 
, закрывающую отверстие тора.
Теорема Остроградского-Гаусса (теорема о дивергенции) [1]
Пусть область ограничена и пространственно-односвязна, поверхность 
замкнута и регулярна (то есть кусочно-гладкая), функция 
однозначна и непрерывна в и на 
, причём все частные производные в выражении 
непрерывны в области . Тогда
, (1)
т.е. поток вектора 
через замкнутою поверхность равен интегралу от дивергенции по объёму, ограниченному этой поверхностью.
Замечание. Теорема справедлива и для неограниченной области, если
О 
при 
.
Идея доказательства теоремы. Доказательство опирается на свойство аддитивности потоков, которые вычисляются по замкнутым поверхностям, ограничивающим смежные объёмы.
Свойство аддитивности потоков. Пусть объем ограничен поверхностью 
. Пусть введена перегородка – поверхность 
, которая делит объем на два объема: 
и 
. При этом и поверхность разделилась на части 
и 
.
.
Действительно, для непрерывного поля его значения на обеих сторонах поверхности 
одинаковы, а направления положительной нормали – противоположны.
Вернемся к доказательству теоремы.
Рассмотрим (1). Разобьём на элементарные объёмы, ограниченные замкнутыми поверхностями 
.
(по опр-ю дивергенции) 
=
= 
.
Геометрическая интерпретация теоремы
Пусть 
– количество векторных линий, пересекающих замкнутую поверхность в направлении положительной нормали;
– количество векторных линий, пересекающих замкнутую поверхность в направлении отрицательной нормали;
, (2)
где 
– плотность источников; 
– масштаб плотности графического изображения линий.
Если поток вектора через замкнутую поверхность , ограничивающую некоторую область пространства, отличен от нуля, то в этой области находятся источники поля, плотность которых пропорциональна .
Теорема Стокса (о роторе)
Прежде чем формулировать теорему, дадим определение односвязной поверхности.
Определение. Поверхность односвязна, если любая простая замкнутая кривая, целиком принадлежащая , может быть стянута в точку с помощью непрерывной деформации, не выходя из .
Теорема Стокса (о роторе). Пусть вектор-функция однозначна и имеет непрерывные частные производные всюду в конечной поверхностно-односвязной[2] области . Пусть лежащая в области поверхность односвязна, регулярна и ограничена регулярной замкнутой кривой 
. Тогда
, (3)
т.е. поток ротора векторного поля 
через поверхность равен циркуляции по контуру 
, ограничивающему поверхность .
Замечание 1. – любая кусочно-гладкая поверхность, опирающаяся на . Ориентация согласована с ориентацией .
Замечание 2. Ориентация 
должна быть согласована с ориентацией по правилу правого винта.
Замечание 3. Формула Стокса (3) остаётся справедливой и для неограниченной области , если подынтегральная функция в интеграле 
имеет порядок О 
при 
.
Date: 2015-12-13; view: 1354; Нарушение авторских прав