Мировая динамика Дж. Форрестера

В данном подразделе будет изложена модель Дж. Форрестера, описанная им к книге «Мировая динамика» [36]. Эта модель, которая будет называться мировой динамикой (МД), описывает развитие мирового сообщества на характерных временах, соизмеримых со столетием. В модели пять уровней: численность людей на Земле, количество природных ресурсов, количество производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве, доля производственных фондов в сельском хозяйстве, уровень загрязнения окружающей среды. Перечислим сначала уровни МД:

• P_t— численность людей на Земле в году t;

• NR_t — количество природных ресурсов в году t;

• CI_t — количество производственных фондов в промышленности и сельском хозяйстве в году t;

• POL_t — уровень загрязнения окружающей среды в году t;

• CIAF_t — доля фондов в сельском хозяйстве.

Следующие соотношения определяют значения перечисленных характеристик в году t + 1 по их значениям в предыдущем году t:

P_t+1 = P_t + DT(BR_t - DR_t), (3.5)

NR_t+1 = NR_t + DT(-NRUR_t), (3.6)

CI_t+1 = CI_t + DT(CIG_t - CID_t), (3.7)

POL_t+l = POL_t + DT(POLG_t - POLA_t), (3.8)

CIAF_t+1 = CIAF_t +

+ DT(1/CIAFT)(CFIFR_tCIQR_t - CIAF_t). (3.9)

Здесь обозначено:

DT — временной шаг, равный одному году;

BR_t — количество людей, родившихся в единицу времени около момента t (т. е. году t);

DR_t — количество людей, умерших в единицу времени около момента t (т. е. году t);

NRUR_t — уменьшение количества природных ресурсов в единицу времени около момента, t (т. е. году t) вследствие их изъятия для нужд производства;

CIG_t — количество новых производственных фондов, созданных в единицу времени около момента t ( т.е. году t) вследствие инвестиций;

CID_t — уменьшение количества фондов в единицу времени около момента t (т. е. году t) вследствие их амортизации;

POLG_t — количество антропогенных выбросов загрязнителей в окружающую среду в единицу времени около момента t (т.е. году t);

POLA_t — уменьшение количества загрязнителей в единицу времени около момента t (т. е. году t) вследствие свойства самоочищения окружающей среды;

CIAFT = 15 лет — характерное время изменения структуры фондов в сельском хозяйстве по сравнению с характерным временем их изменения в промышленности (вследствие инвестиций и амортизации): считается, что характерная скорость изменения доли фондов в сельском хозяйстве в 15 раз меньше характерной скорости изменения фондов в промышленном производстве.

Содержательный смысл характеристик CFIFR_t, CIQR_t, фигурирующих в правых частях соотношения (3.9), будет разъяснен дальше.

Все перечисленные характеристики, фигурирующие в правых частях соотношений (3.5) — (3.9), являются функциями пяти уровней модели МД, а также большого числа внешних характеристик. Дальнейшее изложение модели МД имеет целью конкретизировать эти функции. Для этого необходимо ввести ряд промежуточных характеристик, также являющихся функциями уровней и внешних характеристик составляемой модели. Прежде чем приступать к введению этих характеристик, сделаем следующее замечание. Изложенная в [36] модель МД состоит из двух независимых частей. Первая часть модели МД воспроизводит мировую динамику (более точно — то, что Дж. Форрестер называет мировой динамикой) на временном отрезке от 1900 до 1970 г. Вторая часть воспроизводит мировую динамику от 1970 до 2100 г. Добиваясь плавного сопряжения всех характеристик модели при переходе от первой модели ко второй в 1970 г. Дж. Форрестер тем самым в определенном смысле выполняет верификацию своей модели. Ниже излагается лишь вторая часть модели МД. Это позволяет существенно упростить изложение модели.

Рассмотрим теперь промежуточные характеристики, необходимые для определения темпов, содержащихся в правых частях уравнений (3.5) — (3.9):

• CR_t = Pt/P_t1970 - относительная численность людей на Земле, т.е. численность людей на Земле в долях той численности, которая имела место в 1970 г. Дж. Форрестер трактует эту характеристику как относительную плотность населения на Земле, т. е. плотность населения на Земле в долях плотности, имевшей место в 1970 г.: население Земли в 1970 г. он считает равным 3,6 млрд чел., площадь Земли LA — 135 млн км². Таким образом, плотность PDN = P₁₉₇₀/LA населения на Земле в 1970 г. равна 26,5 чел./км² и CR_t = P_t/(LA PDN) = P_t/P₁₉₇₀ = P_t/3,6.10⁹;

• NRFR_t = NR_t/NR₁₉₇₀ — относительное количество природных ресурсов в году t, т.е. количество природных ресурсов в долях того их количества, которое имелось в 1970 г. Начальное значение NR₁₉₇₀ количества природных ресурсов на Земле принято равным 900 10⁹ ед. Это значение получено следующим образом. Количество природных ресурсов на душу населения в 1970 г. принято равным единице. Считается, что природных ресурсов на Земле хватит на 250 лет. Число 900 10⁹ получено умножением населения Земли в 1970 г. на 250;

• POLR_t = POL_t/POL₁₉₇₀ — относительное загрязнение. Значение POL₁₉₇₀ принимается равным 3,6.10⁹: считается, что в 1970 г. загрязнение в расчете на душу населения равно единице.

Введение относительных характеристик CR_t, NRFR_t, POLR_t является «стандартной» операцией «обезразмеривания» соответствующих внутренних характеристик: вместо значений вводятся их доли по отношению к этим значениям в 1970 г. Операция «обезразмеривания», однако, не доводится до конца — вместо характеристики CI_t/CI₁₉₇₀ вводится следующая характеристика:

• CIR_t = CI_t/P_t — количество фондов в промышленности и сельском хозяйств на душу населения. Именно эта характеристика, а не CI_t/CI₁₉₇₀, называется в [36] относительной величиной фондов. Значение CIR_t в 1970 г. принимается равным единице. Таким образом, значение CI₁₉₇₀ принимается равным 3,6 10⁹. Аналогично, вместо характеристики CIAF_t/CIAF₁₉₇₀ вводится характеристика CIRA_t;

• CIRA_t = CIR_tCIAF_t/CIAF₁₉₇₀ — относительная величина фондов в сельском хозяйстве на душу населения, т. е. количество фондов в сельском хозяйстве на душу населения в долях того количества фондов в сельском хозяйстве на душу населения, которое имелось в 1970 г. Значение CIAF₁₉₇₀ полагается равным 0,3. Таким образом, значение этой характеристики в 1970 г. принимается равным единице;

. MSL_t = CIR_t(1 - CIAF_t)NREM_t/(1 – CIAF₁₉₇₀). Эта характеристика называется материальным уровнем жизни. Здесь NREM_t — множитель, учитывающий уменьшение эффективности фондов в промышленном производстве, происходящее из-за снижения количества природных ресурсов, влекущего увеличение трудозатрат на их извлечение. Множитель NREM_t определен следующей записью:

NREM_t = NREMT((0;0), (0,25;0,15), (0,5;0,5), (0,75;0,85), (1;1), NRFR_t). (3.10)

Здесь и далее такая запись означает следующее: NREM_t является значением таблично заданной функции NREMT. Функция NREMT задается списком пар чисел, перечисленных после идентификатора NREMT и открывающей скобки. В каждой из этих пар на первом месте стоит значение аргумента, на втором месте — значение функции при этом значении аргумента. После списка пар фигурирует аргумент, при значении которого вычисляется функция NREMT. В данном случае таким аргументом является характеристика NRFR_t – относительное количество природных ресурсов в году t, т. е. количество природных ресурсов в долях того их количества, которое имелось в 1970 г. Если значение аргумента NRFR_t не совпадает с каким-либо аргументом в одной из пар списка, то значение функции вычисляется линейной интерполяцией. Если значение аргумента выходит за пределы крайних значений аргументов, фигурирующих в парах, то функции присваиваются значения, соответствующие крайним значениям аргумента. Из записи (3.10), задающей функцию NREMT, видно, что при значении NRFR_t, равном единице, значение функции NREM также равно единице. Иначе, множитель NREM_t в 1970 г. равен единице. Полное исчерпание природных ресурсов, т. е. значение NRFR_t, равное нулю, в соответствии с приведенной записью (3.10) снижает эффективность фондов в промышленности до нуля.

Пары чисел, задающих функцию NREMT (NRFR), являются внешними характеристиками. Другими словами, функция NREMT (NRFR) — внешняя функция излагаемой модели. Эта внешняя функция, как и остальные функции такого же рода, которые будут появляться далее, придумана Дж. Форрестером. Имеется в виду тот факт, что идентифицировать функцию NREMT (NRFR) как внешнюю функцию модели невозможно в силу отсутствия измерений необходимых для этого характеристик.

Далее вводятся промежуточные характеристики, с использованием которых определяются темпы изменения внутренних характеристик, фигурирующих в правых частях уравнений (3.5) — (3.9):

. FPM_t = FRMT(0;l,02),(10;0,9), (20;0,65), (30; 0,32), (40; 0,2), (50; 0,1), (60; 0,05), POLR_t) (3.11)

множитель, описывающий уменьшение производства продуктов питания от относительного загрязнения POLR_t. Напомним, что POLR_t = POL_t/POL₁₉₇₀. В силу этой зависимости при увеличении уровня загрязнения по сравнению с 1970 г. в 25 раз производство пищи упадет на 50 %. Если же уровень загрязнения по сравнению с 1970 г. увеличится в 60 раз, то производство пищи упадет до 5 % от уровня 1970 г.;

. FCM_t = FCMT((0;24), (1;1), (2;0,6), (3;0,4),

(4; 0,3), (5; 0,2), CR_t) - (3.12)

множитель, описывающий уменьшение производства продуктов питания от относительного количества CR_t населения на Земле, или, что то же самое, от относительной плотности людей на Земле. Напомним, что CR_t = P_t/(LA PDN) = P_t/P₁₉₇₀ = P_t/3,6 10⁹;

. FPCI_t = FPCIT((0;0,5), (1;1), (2; 1,4), (3;1,7),

(4; 1,9), (5; 2,05), (6; 2,2), CIRA_t) - (3.13)

характеристика, трактуемая как количество пищи на душу населения в год и называемая «пищевым потенциалом» фондов в сельском хозяйстве: чем больше относительная величина CIRA_t фондов в сельском хозяйстве, тем больше величина FPCI_t- В 1970 г., когда значение характеристики CIRA_t равно единице, пищевой потенциал в соответствии с функцией FPCI_t равен единице;

• FR_t = FPCI_t. FCM_t FPM_t — «относительный уровень питания»: «реальное» количество пищи на душу населения в год, т.е. пищевой потенциал, умноженный на коэффициенты, учитывающие уменьшение производства продуктов питания вследствие загрязнения и увеличения плотности населения;

. BRFM_t = BRFMT((0',0), (1;1), (2; 1,6), (З; 1,9),(4; 2), FR_t) (3.14)

множитель, учитывающий зависимость темпа рождаемости от относительного уровня питания FR_t. При значении FR_t, равном единице, множитель BRFM_t равен единице, что соответствует ситуации в 1970 г.;

. BRCM_t = BRCMT((0;1,05), (1;1), (2;0,9), (3;0,7),(4; 0,65), (5; 0,55), CR_t) -(3.15)

множитель, учитывающий зависимость темпа рождаемости от относительной плотности населения CR_t- При значении CR_t, равном единице, множитель BRCM_t равен единице, что соответствует ситуации в 1970 г.;

. BRMM_t = BRMMТ((0;1,2), (1;1), (2;0,85),

(3;0,75), (4; 0,7), (5; 0,7), MSL_t) - (3.16)

множитель, учитывающий зависимость темпа рождаемости от материального уровня жизни MSL_t. При значении MSL_t, равном единице, множитель BRMM_t равен единице, что соответствует ситуации в 1970 г.;

. BRPM_t = BRPMT((0; 1,02), (10; 0,9), (20; 0,7),

(30; 0,4), (40; 0,25), (50; 0,12), (60; 0,1), POLR_t) (3.17)

множитель, учитывающий зависимость темпа рождаемости от относительного уровня загрязнения POLR_t,

• BRN = 0,04 — коэффициент рождаемости в 1970 г.

Теперь можно наконец написать уравнение, определяющее скорость BR_t роста численности населения на Земле вследствие увеличения рождаемости:

BR_t = P_t * BRFM_t *BRMM_t BRCM_t * BRPM_t *BRN.

Аналогично дело обстоит со скоростью DR_t снижения численности населения на Земле вследствие смертности. Для определения этого параметра вводятся характеристики DRFM_t, DRMM_t, DRCM_t,DRPM_t, имеющие смысл, аналогичный смыслу характеристик BRFM_t, BRMM_t, BRCM_t, BRPM_t:

DRMM_t = DRMMT((0;3), (0,5;1.8),(1;1), (1,5; 0,8),

(2; 0,75), (2,5; 0,7), (3;0,6), (3,5;0,53), (4; 0,5),

(4,5; 0,5), (5; 0,5), MSL_t);

DRCM_t = DRCMT((0; 0,9), (1;1), (2; 1,2), (3;l,5),

(4; 1,9), (5;3), CR_t); (3.18)

DRPM_t =DRPМТ ((0;0,92), (10; 1,3), (20;2),

(30; 3,2), (40; 4,8), (50; 6,8), (60; 9,2), POLR_t)- (3.19)

DRFM_t = DRFMT((0; 30), (0,25; 3), (0,5; 2), (0,75; 1,4),

(1; 1), (1,25; 0,7), (1,5; 0,6), (1,75; 0,5), (2; 0,5), FR_t); (3.20)

• DRN = 0,028 — коэффициент смертности в 1970 г. Теперь можно наконец написать уравнение, определяющее скорость DR_t снижения численности населения на Земле вследствие смертности:

DR_t = P_t * DRMM_t * DRPM_t * DRFM_t * DRCM_t * DRN.

Темпы NRUR_t уменьшения природных ресурсов из-за их извлечения для нужд производства определяются следующим образом:

NRUR_t = P_t * NRMM_t * NURN,

где NURN = NRUR₁₉₇₀ = 1,

NRMM_t = NRMMT((0;0), (l;l), (2; 1,8), (3;2,4), (4;2,9), (5; 3,3), (6; 3,6), (7;3,8), (8; 3,9), (9; 3,95), (10; 4), MSL_t) (3.21)

учитывает зависимость NRUR_t от уровня жизни MSL_t- Чем больше уровень жизни, тем с большей интенсивностью извлекаются природные ресурсы.

Темпы CIG_t увеличения фондов в промышленности и сельском хозяйстве определяются формулой

CIG_t = P_t * CIM_t * CIGN,

где

CIM_t = СIMТ((0;0,1), (1; 1), (2; 1,8), (3;2,4), (4; 2,8),

(5;3),M5L_t) (3.22)

учитывает возрастание этой скорости в зависимости от уровня жизни MSL_t,

CIGN = 0,05.

Темпы CID_t уменьшения фондов в промышленности и сельском хозяйстве определяются следующей простой формулой

CID_t = СI_t * CIDN, i

где CIDN = 0,025.

Темпы POLG_t увеличения загрязнения определяются следующей формулой:

POLG_t = P_t * POLCM_t * POLN,

где POLN = 1, а множитель

POLCM_t = POLCMT ((0;0,5),(1;1),(2;3),(3;5,4),j

(4;7,4),(5;8), CIR_t) (3.23)

описывает увеличение темпа POLG_t в зависимости от количества CIR_t в промышленности и сельском хозяйстве на душу населения.

Темпы POLA_t уменьшения загрязнения из-за механизма самоочистки окружающей среды определяются следующей формулой:

POL A_t = POL_t/POLAT_t

характеристика POLAT_t определена выше, трактуется как характерное время разложения загрязнителей. Эта характеристика определена записью:

POLAT_t = POLATT((0; 0,6), (10; 2,5), (20; 5), (30; 8),

(40; 11,5), (50; 15,5), (60; 20), POLR_t) (3.24)

Зависящая от относительного уровня питания FR_t и определяемая записью:

CFIFR_t = CIFIFRT((0; 1), (0,5; 0,6), (1; 0,3), (1,5; 0,15),

(2; 0,1), FR_t) (3.25)

характеристика CFIFR_t описывает увеличение части производственных фондов в сельском хозяйстве: считается, что уменьшение уровня питания влечет повышение доли производственных фондов в сельском хозяйстве. Для того чтобы найти характеристику CIQR_t, участвующую в определении скорости увеличения доли CIAF_t фондов в сельском хозяйстве, необходимо ввести следующие характеристики:

• QL_t — качество жизни. Эта характеристика является произведением «стандартного качества жизни» QSL, значение которого, относящееся к 1970 г., есть QSL = 1, на четыре сомножителя, учитывающих зависимость качества жизни от качества материального уровня жизни MSL_t, от плотности населения CR_t, от уровня питания FR_t и от относительного уровня загрязнения POLR_t. Значения перечисленных множителей определяются записью:

• QLM_t = QLMT ((0; 0,2), (1,1), (2; 1,7), (3; 2,3),

(4; 2,7), (5; 2,9), MSL_t); (3.26)

QLCT_t = QLCTT ((0;0,2), (0,5; 1,3), (1; 1),

(1,5; 0,75), (2; 0,55), (2,5; 0,45), (3; 0,38), (3,5; 0,3), (3.27)

(4; 0,25), (4,5; 0,22), (5; 0,2), CR_t)

QLF_t = QLFT((0; 1,04), (1; 1), (2; 1,8), (3; 2,4),

(4;2,7), FR_t); (3.28)

• QLP = QLPT((0; 1,04), (10; 0,85), (20; 0,6), (30; 0,3),

(40; 0,15), (50;0,05), (60; 0,02), POLR_t); (3.29)

• CIQR_t = CIQRT ((0; 0,7), (0,5; 0,8), (1; 1), (1,5; 1,5), (2;2),QLM_t/QLF_t). (3.30)

Опишем теперь последовательность вычислений, с помощью которой происходит переход от значений внутренних характеристик P_t, NR_t, СI_t, POL_t, CIAF_t в момент t к их значениям в момент t + 1. Вычисления начинаются с момента t = 1970. В этот момент, как следует из приведенного выше описания, постулированы следующие начальные значения внутренних характеристик: Р₁₉₇₀ = 3,6 * 10⁹, NR₁₉₇₀ = 100 * 10⁹, СI₁₉₇₀ = 3,6 * 10⁹, POL₁₉₇₀ = 3,6 * 10⁹, CIAF₁₉₇₀ = 0,3. Пусть теперь значения P_t, NR_t, CI_t, POL_t, CIAF_t при некотором t 1970 известны. Последовательно вычисляются следующие характеристики: CR_t = P_t/Р₁₉₇₀;NRFR_t = NR_t/NR₁₉₇₀; POLR_t = POL_t/POL₁₉₇₀', CIR_t = CI_t/P_t; CIRA_t -= CIR_t * CIAF_t/CIAF_l970; NREM_t (3.10); MSL_t = CIR_t (1-CIAF_t)NREM_t/(1 – CIAF₁₉₇₀); FPM_t (3.11); FCM_t (3.12); FPCI_t (3.13); FR_t = FPCI_t * FCM_t * FPM_t; BRFM_t (3.14); BRCM_t (3.15); BRMM_t (3.16); BRPM_t (3.17); BR_t = = P_t * BRFM_t * BRMM_t * BRCM_t * BRPM_t * BRN, где коэффициент рождаемости в 1970 г. BRN = 0,04; DRMM_t (3.18); DRCM_t (3.10); DRPM_t (3.19); DRFM_t (3.20); DR_t = P_t * DRMM_t * DRPM_t * DRFM_t * DRN, где коэффициент смертности в 1970 г. DRN = 0,028; P_t+1 = P_t + DT(BR_t - DR_t), где DT = 1; NRMM_t (3.21); NRUR_t = P_t * NRMM_t * NURN, где скорость извлечения природных ресурсов в 1970 г. NURN = 1; NR_t+1 = NR_t + DT(-NRUR_t); CIM_t (3.22); CIG_f = P_t * CIM_t * CIGN, где скорость увеличения фондов в промышленности и сельском хозяйстве в 1970 г. CIGN = 0,05, CID_t = CI_t*CIDN, где амортизация фондов в промышленности и сельском хозяйстве в 1970 г. CIDN = 0,025; CI_t+1 = CI_t + DT(CIG_t - CID_t); POLCM_t (3.23); POLG_t = Pt * POLCM_t * POLN, где скорость увеличения загрязнения в 1970 г. POLN = 1; POLAT_t (3.24); POLA_t = POL_t/POLAT_t; POL_t+1 = POL_t + DT(POLG_t - POLA_t); CFIFR_t (3.25); QLM_t (3.26); QLCT_t (3.27); QLF_t (3.28); QLP_t (3.29); CIQR_t (3.30); CL4F_t+1 = CIAF_t+DT(1/CIAFT)(CFIFR_t * CIQR_t — CIAF_t), где характерное время изменения фондов в сельском хозяйстве (если принять характерное время изменения фондов в промышленности за единицу) CIAFT =15.