Динамика криволинейного движения материальной точки

В некоторых задачах используется понятие "плавучесть", означающее разность между подъемной силой Архимеда и силой тяжести. Звездочкой помечены задачи повышенной сложности (варианты 116–123).

Задача 91. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую плавучесть р = 0.01 mg, начинает подниматься с глубины м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги Т = 0.01 mg. Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной R = –0.1 mV. Определить траекторию лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 92. Определить закон движения x (t), y (t) тяжелой материальной точки M массы m = 5 кг, притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения , k = 20 с ^–1. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². В начальный момент времени ( ) , v _{x 0} = 200 м/с, , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх.

Задача 93. Подводная лодка, не имевшая хода, находилась в надводном положении на расстоянии м от дна. Получив отрицательную плавучесть р = 0.1 mg, она начинает уходить от преследования на очень тихом ходу, который обеспечивается малой постоянной горизонтальной силой тяги двигателя T = 0.001 mg. Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной R = –0.05 mgV , где – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она ляжет на дно.

Задача 94. Точка M массы m = 5 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O, изменяющейся по закону , где k = 20 c ^–1, r – радиус-вектор точки. В начальный момент точка M имела координаты M ₀ (a,0), a = 24 м, и скорость v₀ с проекциями v _{x 0} = 0, v _{y 0} = 4 м/с. Определить закон движения и траекторию точки M. Силой тяжести Земли пренебречь.

Задача 95. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую положительную плавучесть р = 0.001 mg, начинает подниматься с глубины м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги . Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной , где – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 96. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении c малой скоростью U ₀ = 0.5 м/с, получив отрицательную плавучесть р = 0.5 mg, начала срочное погружение с выключенными двигателями. Горизонтальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее вертикальную составляющую принять равной , где – вертикальная скорость погружения лодки. Определить закон движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину м.

Задача 97. Телу M массы m = 8 кг, принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 30° (рис. 19), сообщена начальная скорость v₀ = 18 м/с, направленная под углом = 45° к оси x и лежащая в плоскости ху. Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t), y (t).

Рис.19

Задача 98. Подводная лодка, двигавшаяся в надводном положении со скоростью U ₀ = 0.5 м/с, получив отрицательную плавучесть р = 0.1 mg, начала погружение с выключенными двигателями. Силу сопротивления принять пропорциональной первой степени скорости V и равной .Определить траекторию движения лодки и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту, когда она погрузится на глубину м.

Задача 99. Наибольшая горизонтальная дальность полета снаряда м достигается при угле бросания по отношению к горизонту. Определить, чему равны начальная скорость снаряда v₀ и . Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². Сопротивлением воздуха пренебречь. Начальная скорость снаряда v₀ при вылете из канала ствола орудия фиксирована.

Задача 100. Береговое орудие, расположенное на высоте м над уровнем моря, стреляет снарядами, имеющими при вылете из ствола скорость U ₀ = 1500 м/с. Определить дальность поражения цели при горизонтальном выстреле и закон движения снаряда x (t), y (t), если вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной , где – горизонтальная скорость снаряда.

Задача 101. Определить закон движения x (t), y (t) материальной точки M массы m = 8 кг, притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения равна , k = 12 c ^–1. В начальный момент времени ( ) х ₀ = 18 м, , , v _{y 0} = 6 м/с. Силой тяжести Земли пренебречь.

Задача 102. Материальная точка массы m движется по гладкой горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, направленной параллельно оси . Модуль силы изменяется по закону . Начальная скорость м/с направлена под углом ( ) к линии действия силы. Получить уравнение траектории точки y (x).

Задача 103. Точка M массы m = 8 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O, изменяющейся по закону , где k = 12 c ^–1, r – радиус-вектор точки. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². В начальный момент времени ( ) х ₀ = 20 м, , , v _{y 0} = 50 м/с. Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t), y (t) и траекторию y (x) точки M.

Задача 104. Материальная точка массы m движется по гладкой горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, направленной параллельно оси у (см. рис. 19). Модуль силы изменяется по закону . Начальная скорость м/с направлена перпендикулярно к линии действия силы. Найти закон движения x (t), y (t) и уравнение траектории точки y = y (x).

Задача 105. Телу M массы m = 20 кг, принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 60° (см. рис. 19), сообщена начальная скорость v₀ = 2 м/с, направленная под углом = 30° к оси x и лежащая в плоскости ху. Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t), y (t).

Задача 106. При угле бросания = 60° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м. Определить, чему при этом равна начальная скорость снаряда v₀. Найти также горизонтальную дальность и максимальную высоту траектории при угле бросания 30°. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². Сопротивлением воздуха пренебречь. Начальная скорость снаряда v₀ при вылете из канала ствола орудия фиксирована.

Задача 107. Определить закон движения x (t), y (t) тяжелой материальной точки M массы m = 6 кг, притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию до него. Движение происходит в пустоте, сила притяжения равна , k = 8 c ^–1. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². В начальный момент времени ( ) х ₀ = 24 м, , у ₀ = 40 м, . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх.

Задача 108. Точка M массы m = 4 кг движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O, изменяющейся по закону , где k = 10 c ^–1, r – радиус-вектор точки. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². В начальный момент времени ( ) х ₀ = 2 м, v _{х 0} = 4 м/с, , . Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t), y (t) и траекторию y (x) точки M.

Задача 109. Парашютист массы падает с раскрытым парашютом на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью м/с. На высоте м над поверхностью Земли он, натянув стропы, приобретает горизонтальную скорость м/с. Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения, если при дальнейшем спуске он удерживает стропы в том же положении. Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R_x = –0.01 mV_x, где – горизонтальная скорость парашютиста. Изменением вертикальной компоненты силы сопротивления, вызванной наклоном купола парашюта, пренебречь.

Задача 110. Стартуя с поверхности Земли, реактивный снаряд массы кг движется в течение первых 10 с под действием силы тяги , направленной под углом к горизонту . Затем сила тяги отключается. Определить траекторию движения снаряда и его дальность полета. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Задача 111. Телу M массы m = 28 кг, принимаемому за материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 45° (см. рис. 19), сообщена начальная скорость v₀ = 34 м/с, направленная под углом = 30° к оси x и лежащая в плоскости ху. Ось y горизонтальна. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². Определить закон движения тела по наклонной плоскости x (t), y (t).

Задача 112. Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую положительную плавучесть p = 0.01 mg, начинает подниматься с глубины м. При этом начавший работать двигатель обеспечивает постоянную горизонтальную силу тяги Т = 0.01 mg. Вертикальной компонентой силы сопротивления можно пренебречь, а ее горизонтальную составляющую принять равной R = –0.01 mV_x, где – горизонтальная скорость лодки. Определить траекторию движения лодки y (x) и расстояние, пройденное ею по горизонтали к моменту всплытия.

Задача 113. При угле бросания = 42° по отношению к горизонту снаряд имеет горизонтальную дальность полета м. Определить, чему равна начальная скорость снаряда v₀ при вылете из канала ствола орудия. Найти также горизонтальную дальность полета снаряда и время полета снаряда до цели при угле бросания = 35° и той же начальной скорости v₀. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 114. Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, чтобы поразить цель, обнаруженную на той же горизонтальной плоскости, что и орудие, на расстоянии м. Дополнительно определить максимальную высоту траектории и время полета снаряда до цели. Начальная скорость снаряда v₀ = 600 м/с. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 115. Определить зависимость горизонтальной дальности полета снаряда , максимальной высоты его траектории и времени полета от угла наклона ствола орудия к горизонту. Найти также значения этих величин для = 38°. Начальная скорость снаряда v₀ = 980 м/с. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 116*. Воздушный шар массы m под действием выталкивающей силы F = 1.1 mg начинает подъем. Горизонтальная компонента силы сопротивления воздуха пропорциональна квадрату горизонтальной компоненты скорости шара относительно воздуха: R_x = –0.1 mV , где – его горизонтальная относительная скорость. Вертикальной компонентой силы сопротивления воздуха пренебречь. Определить закон движения шара x (t), y (t), если дует горизонтальный ветер со скоростью м/с.

Задача 117*. Тело M массы m = 8 кг находится под действием двух сил притяжения , , k = 20 c ^–1, направленных к двум неподвижным центрам O ₁ (– a,0) и O ₂ (a,0), a = 24 м. Движение начинается в точке A ₀ (–2 a,0) со скоростью , v _{у 0} = 18 м/с. Определить закон движения x (t), y (t) и траекторию y (x) точки M. Найти моменты времени, когда она пересекает ось Ox, и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Силой тяжести пренебречь.

Задача 118*. Тело M массы m = 2 кг находится под действием двух сил притяжения , , k = 120 c ^–1, направленных к двум неподвижным центрам O ₁ (– a,0) и O ₂ (a,0), а = 12 м. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с ². Движение начинается в точке A ₀ (2 a,0) со скоростью , v _{у 0} = 12 м/с. Ось Ox горизонтальна, а ось Oy направлена по вертикали вверх. Определить закон движения x (t), y (t) и траекторию y (x) точки M. Найти моменты времени, когда она пересекает ось Ox, и вычислить ее координаты в эти моменты времени.

Задача 119*. Материальная точка M массы движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, постоянной горизонтальной силы тяги F = 0.1 mg, силы сопротивления R = –0.1 mV,где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы Q = 2 m v _x, где – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки вдоль вертикальной оси , если в начальный момент времени ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна м/с.

Задача 120*. Тело массы на высоте м над поверхностью Земли имело скорость м/с, направленную вертикально вниз. Затем оно попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с. В результате на него действует сила где V _r – скорость тела относительно потока. Определить величину горизонтального отклонения тела от первоначального направления его движения в момент падения на Землю.

Задача 121*. Парашютист массы , совершая затяжной прыжок, падает на Землю в спокойном воздухе вертикально с установившейся постоянной скоростью м/с. На некоторой высоте от поверхности Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью u ₀ = 0.5 м/с,и в это же время открывает парашют. Горизонтальная компонента силы, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R_x = –0.01 mV_rx, где – горизонтальная скорость тела относительно потока воздуха. Вертикальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста, R_y = –0.1 mV , где – его вертикальная скорость. Определить закон движения парашютиста x (t), y (t) после раскрытия парашюта.

Задача 122*. Материальная точка M массы движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, постоянной горизонтальной силы тяги F = 0.2 mg, силы сопротивления R = –0.1 mV, где V – скорость точки, и вертикальной подъемной силы , где – горизонтальная скорость точки. Получить закон движения точки в направлении горизонтальной оси , если в начальный момент времени ее положение совпадало с началом системы координат, а ее начальная скорость горизонтальна и равна м/с.

Задача 123*. Парашютист массы с раскрытым парашютом падает вертикально с установившейся постоянной скоростью м/с. На высоте м над поверхностью Земли он попадает в воздушный поток, который движется горизонтально с постоянной скоростью м/с. Определить величину горизонтального отклонения парашютиста от первоначального направления его движения в момент приземления и закон его движения x (t), y (t). Горизонтальная компонента силы сопротивления, действующая на парашютиста в воздушном потоке, R_х = –0.01 mV_x, где – горизонтальная скорость парашютиста относительно потока воздуха.

Пример 13. Научно-исследо­ватель­ская подводная лодка шарообразной формы и массы m = = 1.5×10⁵ кг начинает погружаться с выключенными двигателями, имея горизонтальную скорость v _{х 0} = 30 м/с и отрицательную плавучесть Р ₁ = 0.01 mg, где – векторная сумма архимедовой выталкивающей силы Q и силы тяжести mg, действующих на лодку (рис. 20). Сила сопротивления воды , кг/с. Определить уравнения движения лодки и ее траекторию.

Рис.20

Решение. Начало координат выберем в начальном положении лодки, ось Ox направим горизонтально, а ось Oy – вертикально вниз (см. рис. 20). На лодку действуют три силы: P=mg – вес лодки, Q – архимедова выталкивающая сила, причем , и сила сопротивления R. Лодку примем за материальную точку M. Тогда второй закон Ньютона запишется так: . В проекциях на оси Ox и Oy он будет иметь вид: , . Перепишем эти уравнения в форме системы уравнений первого порядка

, .

Интегрируя их методом разделения переменных, получаем

, .

После интегрирования и подстановки численных значений параметров и начальных данных находим

Закон движения находим из решения дифференциальных уравнений

, .

Он описывается соотношениями

м.

В заключение найдем траекторию y (x). Для этого из первого уравнения выразим время t через координату х

.

Подставляя это выражение во второе уравнение, находим

.

.