Концепция моделирования Дж. Форрестера

СИСТЕМНАЯ ДИНАМИКА ДЖ. ФОРРЕСТЕРА

В этом разделе изложена концепция моделирования Дж. Форрестера [36], известная под названием «системная динамика». В настоящее время системная динамика, оснащенная мощными инструментальными средствами конструирования моделей, их компьютерной реализацией, визуализацией результатов выполнения имитационных экспериментов, широко используется специалистами, не являющимися математиками, для построения моделей, описывающих бизнес-процессы. Однако материал главы не рассчитан на экономистов не знающих основ математики, таких как теория систем и теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Для того чтобы научить пользоваться специалистов в предметных областях, не являющихся математиками, средствами системной динамики, изложение этого материала должно удовлетворять целому ряду требований, выполнение которых выглядело бы неестественным в рамках данной книги. Изложение системной динамики, ориентированное на специалистов в предметных областях, не являющихся математиками, можно найти в ряде руководств.

Таким образом, содержание настоящей главы — это на самом деле не изложение концепции моделирования Дж. Форрестера, а ее объяснение тем математикам, кто не знает ни что такое имитационное моделирование вообще, ни что такое системная динамика Дж. Форрестера. Тем не менее, некоторые понятия системной динамики интерпретируются с помощью языковых средств, изложенных в других книгах. Здесь эти интерпретации даются в виде примечаний. Эти примечания читатель, интересующийся только системной динамикой, может пропускать без ущерба для понимания содержания.

Концепция моделирования Дж. Форрестера

Предположим, что требуется изучить некоторое явление, о котором мало что известно. Если это явление из самых глубин непознанного, может оказаться так, что в нем совсем нет ничего похожего на то, что нам известно и поддается описанию привычными понятиями. В этом случае остается ждать, пока развитие науки не перебросит мостик с берега уже познанного поближе к этому явлению. Если же мы в состоянии уподобить некоторые аспекты исследуемого явления чему-то уже нам известному, то можно оказаться в положении героев восточной притчи о слоне и четырех слепцах. Четверо слепых пытались узнать, что такое слон, путем ощупывания оного, а затем делились впечатлениями. Один сказал, что слон — это что-то наподобие шланга, другой — это колонна, третий — шершавая стена, и, наконец, последний — это что-то вроде веревки с кисточкой на конце.

Несмотря на то что описанная ситуация не может не вызвать улыбки у тех, кому доводилось видеть слонов, с точки зрения моделирования сложных явлений здесь ситуация вовсе не безнадежна, наоборот, очень даже неплоха для начального этапа моделирования: выявлены составляющие явления, найдены их характеристики, остается найти их взаимосвязи (что и является самым важным в построении модели). Возможно, что при установлении этих связей придется обратить внимание на некоторые характеристики явления, которые не были замечены при первом знакомстве с ним.

Итак, предположим, что изучается некоторый процесс, развивающийся во времени, в целях прогнозирования его развития. Пусть известно несколько (n) характеристик I₁,…,I_n процесса, прогноз которых желательно получить. Следуя Дж. Форрестеру, будем называть эти характеристики уровнями. Уровни характеризуют моделируемый процесс. Они образуют некоторую систему координат, в которой мы пытаемся выразить данное явление. Выбор этой системы координат — право исследователя. Например, она может быть неполна, т. е. не отражать всего многообразия характеристик явления, например, потому что часть характеристик, которые взаимосвязаны с I₁,…,I_n нами еще не выявлена. В идеале хорошо бы располагать «полным» набором характеристик процесса, т. е. всеми теми, которые оказывают влияние на I₁,..., I_п в пределах практически необходимой точности. На практике обычно начинают с того, что есть в наличии (т. е. с характеристик, выявленных после предварительного изучения явления), имея в виду, что при попытке построить модель, способную давать прогноз, число таких характеристик, возможно, придется увеличить. Подводя некоторый итог сказанному об уровнях, можно отметить, что на вопрос: Почему в данной модели в качестве уровней выбраны именно эти переменные? — вполне допустимы ответы: Этот набор переменных полностью характеризует изучаемый процесс (идеальный случай); это все, что нам известно о данном процессе; это то, что интересует нас в данном исследовании; это то, что мы умеем измерять; и т. д.. Если выбранный нами набор уровней не обладает полнотой характеристик изучаемого явления, то это означает, что будем моделировать некоторую проекцию всего явления на выбранное нами подпространство его характеристик, что тоже вполне может быть допустимым, осмысленным и плодотворным.

Примечание 3.1. То, что у Дж. Форрестера называется уровнями — это внутренние характеристики изучаемого процесса. В этом абзаце: характеристики I₁,.., I_n — это те, необходимость получения прогноза которых является мотивом для обращения к средствам математического моделирования.

Далее начинается самый важный этап моделирования — выявление взаимосвязей между различными характеристиками явления (уровнями). Иногда, несмотря на малое количество рассматриваемых уровней и весьма простой вид связи между ними, полученная модель может оказаться весьма плодотворной. Связи между различными уровнями могут быть самой разной природы, однако в данном разделе рассматривается моделирование развивающихся во времени процессов. Что нужно для того, чтобы, располагая значениями уровней в некоторый момент t, узнать их значения в некоторый следующий момент t + ? Ответ очевиден: нужно знать скорости изменения — , j=1,…,n уровней в зависимости от значений самих уровней; в данный момент t. Эти скорости, модельный смысл которых — скорости изменения уровней в единицу времени, будем называть потоками (вслед за Дж. Форрестером).

Тогда связи между потоками и уровнями модели запишутся в виде системы дифференциальных уравнений

(3.1);

Поскольку одним из начальных предположений данного метода было декларирование того, что мы слабо представляем себе природу моделируемого явления, вообще говоря, не рассчитываем на то, что нам известен характер функциональных зависимостей F_j(I₁,....,I_n), j = 1,..., п. Если почему-то он известен, то динамическая система (3.1) и будет математической моделью нашего явления. Иногда под терминами «системная динамика», понимают именно моделирование явления динамической системой вида (3.1). Думается, что это достаточно оправдано, так как за время от Ньютона до Форрестера в естествознании было построено множество моделей именно такого вида, да и модели Форрестера также принадлежат к этому виду. Особенностью собственно форрестеровского метода системной динамики в более узком смысле этого слова является некоторое упрощение и декомпозиция правых частей системы (3.1), которая позволяет строить динамические модели, не пользуясь теорией дифференциальных уравнений и вообще дифференциальным исчислением, что, несомненно, делает этот метод привлекательным для исследователей — неспециалистов в области математики.

Попробуем пояснить суть этого метода, исходя из динамической системы общего вида (3.1). (Представляется важным сохранять преемственность с естественно-научными моделями посленьютоновского времени, да и читатели этой книги не должны бояться дифференциальных уравнений.)

Итак, вид функций F_j в (3.1) нам не известен, однако мы уверены в том, что их можно выбрать таким образом, что возникшая модель будет адекватна. Применим еще один типичный для посленьютоновского естествознания прием: представим функции F_j в виде разложений в ряд по степеням I_k, при этом постараемся ограничиться первыми линейными членами разложения, а коэффициенты при них подберем экспериментально, изучая наше явление (т.е. производя эксперименты по измерению соответствующих уровней в различные моменты времени).

Если ограничиться только линейными членами разложения, система (3.1) примет вид

(3.2)

Произведения в (3.2) вслед за Дж. Форрестером будем называть темпами j-гопотока.

Примечания 3.2. Характеристики , считаются внешними характеристиками в составляемой модели, а их экспериментальное определение является процессом идентификации модели.

Недостаток системы (3.2) лишь в том, что в жизни многие зависимости редко бывают линейными. Поэтому возникает желание сделать некоторый шаг назад от (3.2) в направлении (3.1), так чтобы системе были разрешены некоторые отклонения от ее «базового» линейного состояния (3.2), с целью охвата более широкого класса явлений. В то же время эти «отклонения» не должны слишком сильно мешать нам, т. е. система (3.2) должна оставаться «базой» нашего исследования.

Ввести такое допущение о нелинейности можно многими способами. В выборе способа последуем за Дж. Форрестером. Разрешим коэффициентам зависеть от уровней, т. е.

Причем эта зависимость имеет специальный мультипликативный вид:

(3.3)

Здесь — те же константы, что и в (3.2), каждый из множителей зависит лишь от одного аргумента — «своего» уровня I_l, при этом «базовым» значением множителей считается 1, от которого под действием аргументов они могут отклоняться в ту или иную сторону, т. е. если увеличение l- г о; уровня вызывает уменьшение j, k-го темпа, то < 1, если же наоборот, увеличение, то > 1, причем величина уменьшения или увеличения темпа будет пропорциональна отклонению от 1.

Окончательно наша модель приобретает следующий вид:

(3.4) Примечание 3.3. Характеристики в модели (3.4) по-прежнему считаются внешними. Однако в модели (3.4) этими характеристиками совокупность внешних характеристик не исчерпывается, поскольку таковые могут фигурировать в функциях .

Что же выиграно и что проиграно от представления правых частей уравнений системы (3.1) в виде (3.4)? Проиграно то, что, не все функции F_j (I₁,…,I_n),j=1,…,n, которые могут фигурировать в правых частях уравнений системы (3.1), представимы в виде . Выиграно же то, что обо всех внутрисистемных связях теперь можно говорить, используя всего лишь три термина: уровни, потоки и темпы. Если пользоваться конечно-разностным представлением системы (3.4)

,

то можно, ничего не зная о дифференциальных уравнениях и даже о производной, в терминах уровней, потоков и темпов построить вполне приемлемую модель достаточно сложного явления. Именно этот факт и сделал методы системной динамики весьма популярными в моделировании: проигрыш от уменьшения множества функций, которые могут фигурировать в правых частях уравнений системы (3.1), гораздо меньше, чем выигрыш, возникающий из простой и удобной системы понятий, которую необходимо усвоить для выполнения акций составления модели и получения результатов моделирования.

Уровни — это то, что в классических естественно-научных моделях называется фазовым пространством системы, т. е. набор характеристик, в каждый момент времени, полностью определяющий состояние системы. Потоки — скорости изменения уровней в единицу времени (первые производные уровней по времени). Потоки складываются из темпов. Темпы зависят от уровней мультипликативно (3.3). Других зависимостей в системе нет. Вид внутрисистемных зависимостей позволяет изобразить (3.4) в виде диаграммы, как это делал Дж. Форрестер, изображая уровни прямоугольниками, темпы — вентилями, множители — кружками, зависимости множителей от уровней — дугами от прямоугольников к кружкам. На дугах можно помечать положительную или отрицательную зависимость знаками «+» и «—» и даже числовое выражение интенсивности этой зависимости. Для формального описания систем вида (3.4) Дж. Форрестером был придуман и реализован алгоритмический язык системной динамики — DYNAMO. Современные преемники этого языка — например, системы моделирования Ithink фирмы High Performance Systems Inc. и Powersim фирмы Powersim позволяют описывать модель также в виде диаграмм. Такой графический интерфейс весьма удобен, особенно для тех, кто хочет строить системно-динамические модели в своей области исследований, не владея аппаратом дифференциальных уравнений.

Может возникнуть вопрос: «Не слишком ли произволен переход от (3.1) к (3.4)?» Наше оправдание в том, что вид функций (3.1) нам неизвестен. На самом деле нам пока просто не с чем сравнивать (3.4), кроме как с результатами экспериментов по измерению характеристик изучаемого явления. Если экспериментальное изучение нашего явления покажет, что система (3.4) описывает его достаточно адекватно (т.е. если удастся подогнать коэффициенты и зависимости темпов от уровней под эксперимент), значит, достигнут необходимый результат. Более чем тридцатилетняя практика системной динамики показала, что весьма широкий класс различных явлений может быть описан системами вида (3.4). Если все-таки окажется, что; почему-то наше явление не хочет укладываться в модель системы (3.4) — что ж, отрицательный результат исследования — тоже результат. В данном случае он даст некоторую ценную информацию о неизвестных зависимостях (3.1), а именно о том, что они совсем не похожи на (3.4), и мы будем пытаться; моделировать наше явление другими методами, о которых также пойдет речь в этой книге.

Далее рассмотрим несколько известных моделей системной динамики, в том числе задачу об устойчивом глобальном развитии.