Тема 7. Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних

Основи теорії експерименту. Етапи планування експерименту.

Спостереження та експеримент, як основа математичного моделювання.

Факторні експерименти. Центральні композиційні плани.

Регресійний аналіз та оптимальне планування.

Плани занять

4.1. Плани лекцій.

Всі лекції мають інтерактивний характер, що забезпечується використанням мультимедійного обладнання. Це дозволяє активізувати процес навчання: він стає більш динамічним, інтерактивним, що, враховуючи прикладний характер дисципліни, є важливим.

Лекція 1. — Тема1. Вступ.

Види інноваційних навчальних технологій: інтерактивна лекція

Задачі і алгоритми обчислювальної математики.

1. Предмет і метод обчислювальної математики, її роль в дослідженні математичних та соціально-економічних моделей.

2. Проблеми, які виникають при виборі методу розв’язування задачі

3. Задачі обчислювальної математики та числові алгоритми.

4. Повна похибка обчислення розв’язку задачі: неусувна, методу, заокруглювання.

5. Оцінки складності алгоритмів та комп’ютерного часу обчислення розв’язку задачі.

6. Забезпечення розв’язання задач із заданими значеннями характеристик якості за точністю і швидкодією.

7. Нестійкість обчислювальних алгоритмів

Основи теорії похибок.

8. Наближені числа, їх абсолютні і відносні похибки. Правила наближених обчислень і оцінка похибок при обчисленнях: додавання і віднімання наближених чисел; множення і ділення наближених чисел

9. Похибки обчислень значень функції

10. Класифікація похибок..

11. Пряма та обернена задачі теорії похибок

Інструментальні засоби.

12. Класифікація та огляд засобів для обчислювальної математики.

13. Використання електронних таблиць для розв'язання задач чисельної математики.

14. Використання математичних та статистичних пакетів.

15. Реалізація чисельних методів в мовах програмування

Лекція 2 — Тема 2. Методи розв’язання задач лінійної алгебри

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з дисципліною «Вища математика».

1. Постановка задачі розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

2. Метод виключення Гауса. Метод Гауса с вибором головного елемента.

3. LU-розкладення.

4. Метод простої ітерації і метод Зейделя.

5. Розв'язання систем лінійних рівнянь великої розмірності.

6. Поняття власного значення і власного вектора квадратної матриці.

7. Метод ітерацій для пошуку максимального за модулем власного значення матриці

Лекція 3 — Тема 3. Методи розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з дисципліною «Вища математика».

Розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим

1. Постановка задачі розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим.

2. Метод дихотомії, метод хорд, метод Ньютона, метод простої ітерації.

Розв'язання системи нелінійних рівнянь

3. Постановка задачі розв'язання систем нелінійних рівнянь.

4. Метод Ньютона, метод простої ітерації.

5. Метод найменших квадратів.

Лекція 4 — Тема 4. Методи інтерполяції та наближення функцій

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з дисциплінами математичного циклу.

1. Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках: інтерполяційний многочлен Лагранжа, ітерполяційний многочлен Ньютона.

2. Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, сплайнами: лінійні сплайни, квадратичні сплайни, кубічні сплайни.

3. Апроксимація функцій методом найменших квадратів.

4. Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, розкладом їх у ряд Фур’є. Швидке дискретне перетворення Фур’є.

Лекція 5 — Тема 4. Методи мінімізації функцій

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою

Методи і алгоритми мінімізації унімодальних багатоекстремальних функцій однієї змінної.

1. Алгоритм золотого перетину знаходження точки мінімуму унімодальної функції.

2. Алгоритми перебору на рівномірній і нерівномірній сітках для обчислення глобального мінімуму функції, яка задовольняє умову Ліпшиця.

Методи безумовної мінімізації випуклих функцій багатьох змінних

3. Методи й алгоритми мінімізації випуклої функції багатьох змінних: алгоритми градієнтного спуску, покоординатного спуску у по випадковому напрямку.

Методи мінімізації функцій багатьох змінних при обмеженнях на змінні.

4. Методи й алгоритми послідовної безумовної мінімізації з використанням штрафних функцій і функцій нев’язок.

Методи глобальної мінімізації багатоекстремальних функцій багатьох змінних

5. Методи й алгоритми перебору на рівномірних і нерівномірних сітках, випадкового пошуку і локального спуску

Лекція 6 — Тема 5. Чисельне інтегрування і чисельне диференціювання

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою

1. Метод чисельного диференціювання функцій з використанням інтерполяційного многочлена Ньютона.

2. Методи обчислення означених інтегралів із заданою точністю з використанням формул: прямокутників, трапецій, Сімпсона (парабол).

3. Квадратурні формули інтерполяційного типу, формули Ньютона — Котеса.

Лекція 7 — Тема 6. Методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та їх систем

иди інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою.

1. Однокрокові методи розв’язання задачі Коші: метод Ейлера і його модифікації, методи Рунге-Кутта.

2. Багатокрокові методи — методи Адамса.

3. Методи розв’язання задачі Коші для жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь.

Лекція 8 — Тема 6. Методи розв’язання крайових задач

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з вищою математикою.

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

1. Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь:

1.1. метод стрільби (балістичний),

1.2. метод коллокації,

1.3. метод Гальоркіна,

1.4. метод найменших квадратів,

1.5. метод скінченних різниць.

Методи розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними

2. Метод прямих та метод сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними

Лекція 9 — Тема 7. Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних.

Види інноваційних навчальних технологій: інтегруюча лекція: створення горизонтальних (міжпредметних) зв’язків з мате математичною статистикою та економетрикою

1. Основи теорії експерименту. Етапи планування експерименту.

2. Спостереження та експеримент, як основа математичного моделювання.

3. Факторні експерименти. Центральні композиційні плани.

4. Регресійний аналіз та оптимальне планування.

4.2. Плани лабораторних занять очної форми навчання.