Тема 1. Вступ

Державний вищий навчальний заклад

«КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ВАДИМА ГЕТЬМАНА»

Факультет інформаційних систем і технологій

Кафедра інформатики

ЗАТВЕРДЖУЮ:

Проректор з нуково-

педагогічної роботи _____________ А.М. Колот

МЕТОДИЧНІ МАТЕРІАЛИ

щодо змісту та організації самостійної роботи студентів, поточного і підсумкового контролю їх знань

з науки «Чисельні методи»

освітній ступінь бакалавр

галузь знань 0501 «Інформатика та обчислювальна техніка»
спеціальності 6101 «Комп'ютерні науки»

Погоджено:

Завдувач кафдери __________________ Д.О. Шарапов

Начальник навчально-

методичного відділу __________________Т.В. Гуть

К И Ї В — 2015

ЗМІСТ

1. Вступ..................................................................................................................................................... 2

2. Тематичний план науки.......................................................................................................... 3

3. Зміст науки....................................................................................................................................... 4

Тема 1. Вступ............................................................................................................................................ 4

Тема 2. Методи розв’язання задач лінійної алгебри............................................................................. 4

Тема 3. Методи розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем............................................................. 4

Тема 4. Методи інтерполяції, наближення та мінімізації функцій..................................................... 4

Тема 5. Чисельне інтегрування і чисельне диференціювання............................................................ 5

Тема 6. Чисельні методи розв’язування диференціальних рівнянь.................................................... 5

Тема 7. Математичне моделювання та методи обробки експериментальних даних........................ 6

4. Плани занять.................................................................................................................................... 7

4.1. Плани лекцій.................................................................................................................................... 7

4.2. Плани лабораторних занять очної форми навчання..................................................................... 9

4.3. Плани контактних занять для студентів заочної форми навчання............................................ 13

4.4. Плани навчальної роботи для студентів заочної форми навчання в міжсесійний період....... 16

5. Самостійна робота студентів............................................................................................. 17

Завдання для самостійного опрацювання студентами очної форми навчання............................... 17

6. Індивідуально-консультативна робота........................................................................ 19

7. Методи активізації процесу навчання......................................................................... 20

8. Поточний і підсумковий контроль знань.................................................................... 21

8.1. Очна форма навчання..................................................................................................................... 21

8.2. Заочна форма начання.................................................................................................................... 23

8.3. Приклади типових завдань, що виносяться на екзамен............................................................. 27

8.4. Зразок екзаменаційного білета...................................................................................................... 36

9. Рекомендована література.................................................................................................... 38

9.1. Основна література........................................................................................................................ 38

9.2. Додаткова література...................................................................................................................... 38

Вступ.

Чисельні методи належать до фундаментальних наук, на яких ґрутнується робота усієї обчислювальної техніки та розрахункова частина математичного моделювання у будь-якій сфері діяльності. Враховуючи також, що математичне моделювання сьогодні є невід'ємною частиною наукових досліджень у будь-якому науковому напрямі, вивчення чисельних методів студентами спеціальності “Комп'ютерні науки” є вкрай необїідним.

Метою вивчення чисельних методів є формування теоретичних знань з основ чисельного аналізу та дослідження операцій, засвоєння студентами основних чисельних методів та надбання навичок їх застосування для рішення математичних задач, що виникають при розробці інформаційних систем. При цьому велика увага приділяється практичній роботі студентів на персональних комп’ютерах із застосуванням математичних пакетів.

Об’єктом вивчення дисципліни є типові математичні задачі, до яких зводиться рішення проблем, що виникають при розробці інформаційних систем та систем моделювання.

Предметом вивчення дисципліни є чисельні методи рішення типових математичних задач.

Основним завданням вивчення науки є оволодіння навичками та вмінням досліджувати теоретичні моделі економічних явищ та інженерно-економічних задач засобами обчислювальної математики, яке спирається на вивчення теоретичних засад чисельної математики та оволодінні практичними навичками ефективного використання потужного апарату чиесльної математики, як на рівні методів і алгоритмів, так і на рівні використання спеціалізованих інструментальних обчислювальних засобів.

Програма основного курсу передбачає навчання в формі лекцій, практичних занять та лабораторних робіт, а також організацію самостійної пізнавальної діяльності студентів. Для практичного засвоєння основних тем дисципліни передбачені практичні заняття та лабораторні роботи з застосуванням ПК в класах комп’ютерного центру університету.

Вивчення чисельних методів є важливим підґрунтям для подальшого вивчення дисциплін математичного циклу, та циклу комп'ютерних наук.

У результаті вивчення науки студенти повинні:

1) знати теоретичні основи чисельної математики;

2) знати основні типи задач, які ефективно вирішуються за допомогою чисельних методів;

3) вміти правильно підбирати чисельні методи для вирішення прикладних задач;

4) вміти реалізовувати алгоритми чисельної математики на практиці;

5) знати основні спеціалізовані інструментальні засоби для роботи з чисельною математикою;

6) вміти професійно ефективно використовувати програмні засоби для вирішення прикладних задач.

7) Вміти на практиці користуватись чисельними методами у моделюванні та при обробці експериментальних даних

Тематичний план науки.

з розподілом навчального часу за формами навчання та видами аудиторних занять.

Форма підсумкового контролю — залік.

3. Зміст науки.

Тема 1. Вступ.

Задачі і алгоритми обчислювальної математики.

Предмет і метод обчислювальної математики, її роль в дослідженні математичних та соціально-економічних моделей. Проблеми, які виникають при виборі методу розв’язування задачі

Задачі обчислювальної математики та числові алгоритми. Повна похибка обчислення розв’язку задачі: неусувна, методу, заокруглювання. Оцінки складності алгоритмів та комп’ютерного часу обчислення розв’язку задачі. Забезпечення розв’язання задач із заданими значеннями характеристик якості за точністю і швидкодією. Нестійкість обчислювальних алгоритмів

Основи теорії похибок.

Наближені числа, їх абсолютні і відносні похибки. Правила наближених обчислень і оцінка похибок при обчисленнях: додавання і віднімання наближених чисел; множення і ділення наближених чисел.

Похибки обчислень значень функції

Класифікація похибок..

Пряма та обернена задачі теорії похибок

Інструментальні засоби.

Класифікація та огляд засобів для обчислювальної математики. Використання електронних таблиць для розв'язання задач чисельної математики. Використання математичних та статистичних пакетів. Реалізація чисельних методів в мовах програмування.

Тема 2. Методи розв’язання задач лінійної алгебри.

Постановка задачі розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод виключення Гауса. Метод Гауса с вибором головного елемента. LU-розкладення. Метод простої ітерації і метод Зейделя. Розв'язання систем лінійних рівнянь великої розмірності.

Поняття власного значення і власного вектора квадратної матриці. Метод ітерацій для пошуку максимального за модулем власного значення матриці.

Тема 3. Методи розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем.

Розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим

Постановка задачі розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим. Метод дихотомії, метод хорд, метод Ньютона, метод простої ітерації.

Розв'язання системи нелінійних рівнянь

Постановка задачі розв'язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона, метод простої ітерації. Метод найменших квадратів.

Тема 4. Методи інтерполяції, наближення та мінімізації функцій.

Методи інтерполяції і наближення функцій

Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках: інтерполяційний многочлен Лагранжа, ітерполяційний многочлен Ньютона.

Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, сплайнами: лінійні сплайни, квадратичні сплайни, кубічні сплайни.

Апроксимація функцій методом найменших квадратів.

Наближення функцій, заданих своїми значеннями в точках, розкладом їх у ряд Фур’є. Швидке дискретне перетворення Фур’є.

Методи і алгоритми мінімізації унімодальних багатоекстремальних функцій однієї змінної.

Алгоритм золотого перетину знаходження точки мінімуму унімодальної функції. Алгоритми перебору на рівномірній і нерівномірній сітках для обчислення глобального мінімуму функції, яка задовольняє умову Ліпшиця.

Методи безумовної мінімізації випуклих функцій багатьох змінних

Методи й алгоритми мінімізації випуклої функції багатьох змінних: алгоритми градієнтного спуску, покоординатного спуску у по випадковому напрямку.

Методи мінімізації функцій багатьох змінних при обмеженнях на змінні.

Методи й алгоритми послідовної безумовної мінімізації з вико-

ристанням штрафних функцій і функцій нев’язок.

Методи глобальної мінімізації багатоекстремальних функцій багатьох змінних

Методи й алгоритми перебору на рівномірних і нерівномірних сітках, випадкового пошуку і локального спуску.

Тема 5. Чисельне інтегрування і чисельне диференціювання.

Метод чисельного диференціювання функцій з використанням інтерполяційного многочлена Ньютона.

Методи обчислення означених інтегралів із заданою точністю з використанням формул: прямокутників, трапецій, Сімпсона (парабол). Квадратурні формули інтерполяційного типу, формули Ньютона — Котеса.

Тема 6. Чисельні методи розв’язування диференціальних рівнянь.

Методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та їх систем

Однокрокові методи розв’язання задачі Коші: метод Ейлера і його модифікації, методи Рунге-Кутта. Багатокрокові методи — методи Адамса. Методи розв’язання задачі Коші для жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь.

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Методи розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь: метод стрільби (балістичний), метод коллокації, метод Гальоркіна, метод найменших квадратів, метод скінченних різниць.

Методи розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними

Метод прямих та метод сіток розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.