Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе балок тонкостенного профиля

При поперечном изгибе балки тонкостенного профиля в ее сечениях преобладающим остаются нормальные напряжения, которые в основном определяют прочность балки. Нормальные напряжения можно вычислить по тем же формулам, что для балок сплошного сечения:

, ,

Однако для тонкостенной балки в отличие от балки сплошного сечения существенное значение приобретают также величина и распределение касательных напряжений. Для определения касательных напряжений в поперечном сечении тонкостенной балки принимают допущение, что касательные напряжения τ направлены по касательной к средней линии сечения и по толщине δ распределены равномерно (рис. 3.73).

Рисунок 3.73

Выделим из тонкостенной балки (3.74а) элементарный участок длиной dx и приложим усилия, действующие со стороны отброшенной части (рис. 3.74б).

Рисунок 3.74

Составим уравнение равновесия:

Σx =σ×s×δ – (σ+dσ)×s×δ+τ×δ×dx=0, откуда:

(1)

Продифференцируем выражение для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе: , получим:

Подставим в выражение (1), получим:

Так как F^отс y = S_z^отс, окончательно получим:

В этой формуле, как и в формуле Журавского, под Q_y понимается поперечная сила в сечении, направленная перпендикулярно главной центральной оси z и параллельно главной центральной оси y; S_z^отс - статический момент отсеченной части сечения относительно главной центральной оси z; I_z – момент инерции всего сечения относительно главной центральной оси z.

Формулы определения касательных напряжений в сплошном сечении и тонкостенном сечении по внешнему виду похожи. Однако, если по формуле для сплошного сечения определяют только вертикальную составляющую вектора касательных напряжений τ_xy, действующую параллельно перерезывающей силе Q_y, то формула для тонкостенного сечения определяет полный вектор касательных напряжений τ, действующий по касательной к средней линии тонкостенного сечения.

Если направление поперечной силы Q не совпадает с главной центральной осью сечения, тогда касательные напряжения τ можно вычислить:

, где

Q_y, Q_z – составляющие поперечной силы по главным центральным осям y и z.

Пример 3.10

Построить эпюру касательных напряжений в балке тонкостенного сечения при ее поперечном изгибе, при условии, что в поперечном сечении возникает перерезывающая сила Q_y=qa (рис. 3.75a).

Решение.

1. Касательные напряжения вычислим по формуле:

2. Главный центральный момент инерции сечения I_z:

(3)

3. Обозначим потоки касательных усилий на каждом из прямолинейных участков (рис. 3.75б). Направление потока выбираем таким образом, чтобы их направление их суммы совпадало с направлением перерезывающей силы.

Рисунок 3.75

4. Пронумеруем характерные точки сечения, в которых происходит перелом средней линии. В пределах каждого из участков введем местную координату t, которой обозначим расстояние от начала участка до текущей точки сечения (рис. 3.75в). В силу симметрии сечения, рассматриваем только верхнюю часть сечения. Запишем выражения статического момента S на участках средней линии сечения и вычислим значения в характерных точках:

5. Запишем выражения τ на участках средней линии и вычислим значения τ в граничных точках:

6. Построим эпюру касательных напряжений τ (рис. 3.75г).