Историческая справка

Задача изгиба стержня интересовала еще Леонардо да Винчи. Он установил, что в двухопорной балке постоянного поперечного сечения прогибается больше всего та часть, которая находится на наибольшем расстоянии от опор. В результате экспериментальных исследований изгиба балки квадратного поперечного сечения на двух опорах, нагруженной в среднем сечении силой P, Леонардо да Винчи пришел к выводу, что разрушающая сила равна:

, где c- постоянная, a- сторона квадрата, l- длина балки.

Если принять, что закон Р.Гука справедлив до разрушения, то тогда правильный результат будет: .

Вероятно, что невысокая экспериментальная техника того времени и наличие пластических деформаций перед разрушением не позволили установить правильный результат. Что касается прогиба, то вначале Леонардо да Винчи получил, что он пропорционален произведению силы на длину балки, затем исправил этот результат, приняв, что он пропорционален произведению силы на квадрат длины и только затем пришел к правильному выводу пропорциональности прогиба произведению силы на куб длины.

Задача прочности изогнутого прямого стержня прямоугольного поперечного сечения была поставлена Г.Галилеем.

Конечно, Галилей не мог дать правильного решения задачи изгиба стержня, поскольку ему был неизвестен закон, связывающий напряжения и деформации. Да, впрочем, понятия напряжений и деформаций в то время не были определены. Для решения задачи Галилей принял, что внутренние силы в поперечном сечении изогнутой консольной балки распределены равномерно т.е. эпюра напряжений в поперечном сечении является прямоугольником (рис. 3.60).

Рисунок 3.60

Галилей не понимал, что при изгибе стержня часть волокон растянута, а часть сжата. Полагая, что принятое им распределение напряжений имеет место до разрушения, Галилей нашел разрушающую нагрузку из условия равновесия в момент разрушения балки, освобожденной от заделки:

,

где P_разр - сила, разрушающая балку;

σ_разр - напряжение при разрушении растянутого стержня из того же материала;

b - ширина;

a - высота поперечного сечения.

Разрушающая нагрузка: .

По сути дела, Галилей рассматривал условие равновесия рычага с точкой опоры A. Как известно, момент сопротивления изгибу прямоугольного поперечного сечения . В этом случае разрушающая нагрузка, подсчитанная в предположении справедливости закона Гука, равна: .

Таким образом, приняв неверное распределение внутренних сил в поперечном сечении, Галилей ошибся в величине момента сопротивления изгибу в три раза. Однако если определять предельную нагрузку такую, при которой во всех точках поперечного сечения напряжения равны пределу текучести, то тогда получим

, откуда

В этом случае Галилей ошибся уже только в два раза.

На основании вышеизложенного Галилей пришел к правильному заключению, что стержень прямоугольного поперечного сечения с различными размерами сторон более прочен, когда он поставлен на ребро, нежели когда он лежит плашмя, и во столько раз, во сколько одна сторона больше другой. В случае нагружения консольной балки, равномерно распределенной нагрузкой (собственный вес), Галилей пришел к заключению, что изгибающий момент пропорционален квадрату расстояния от свободного края (рис. 3.61).

Рисунок 3.61

, где q — интенсивность распределенной нагрузки (вес единицы длины балки).

Для круглого поперечного сечения Галилей правильно установил, что момент сопротивления изгибу пропорционален кубу диаметра, исходя из того, что он должен быть пропорционален произведению площади на диаметр. Исследуя изгиб балки на двух опорах, Галилей показал, что наибольший изгибающий момент пропорционален произведению расстояний от точки приложения силы до опор, и, следовательно, наибольшая величина момента имеет место в том случае, когда сила приложена в среднем сечении балки. Изучая прочность полых балок, Галилей пришел к правильному заключению, что при одинаковом весе полые стержни прочнее сплошных.

К решению задачи изгиба балки прямоугольного поперечного сечения вплотную подошел Э.Мариотт, и только досадная ошибка не позволила ему вывести правильную формулу для определения нормальных напряжений в балках. Э.Мариоттом независимо от Р.Гука был установлен закон прямой пропорциональности удлинений растянутого образца от приложенной силы. Вначале Мариотт, так же как и Галилей, полагал, что все волокна балки растянуты, но в отличие от Галилея считал, что закон изменения внутренних сил в поперечном сечении линейный, причем нейтральная линия проходит через нижние точки поперечного сечения (рис.3.62а).

Рисунок 3.62

Тогда уравнение имеет вид:

, откуда

Следовательно, Мариотт ошибся в величине момента сопротивления изгибу в два раза. Если считать, что линейный закон распределения внутренних сил справедлив до разрушения, то тогда нагрузка, разрушающая балку, по Мариотту составляет 2/3 от нагрузки по Галилею.

В дальнейшем Э.Мариотт понял, что при изгибе балки прямоугольного поперечного сечения не все волокна балки растянуты, а половина их сжата, т.е. эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении такая, как изображено на рисунке 3.62б.

Следовательно, растягивающие и сжимающие силы в половинах поперечного сечения равны:

Однако при подсчете разрушающей силы Э.Мариотт умножил на плечо a не величину указанных сил, а удвоенную величину, соответствующую эпюре распределения напряжений в первом варианте решения, в результате чего по-прежнему пришел к полученному им ранее соотношению. Результат, полученный Мариоттом для разрушающей нагрузки, лучше согласовывался с результатами опытов, поставленных им на деревянных и стеклянных стержнях, чем результат, полученный Галилеем. Заметим, впрочем, что Мариотт производил испытания с балками круглого поперечного сечения, а формула была им выведена для прямоугольного поперечного сечения. Расхождения между теоретическими и экспериментальными данными Мариотт объяснил влиянием продолжительности воздействия нагрузки. Оба они не обратили внимания на существование поперечной силы в сечениях балки, точно, так же, как и на необходимость, согласно принятым ими законам распределения нормальных напряжений, существования нормальной сжимающей силы в нижних волокнах балки. Следует отметить, что и Галилей, и Мариотт полагали, что принятые ими законы распределения напряжений справедливы при разрушении, и ставили задачу определения нагрузок, разрушающих балку.

Правильное решение задачи об изгибе балки прямоугольного поперечного сечения было дано А.Параном в 1713г. В первой работе Паран обратил внимание на то, что результат, полученный Мариоттом, справедлив только для балок прямоугольного поперечного сечения. Следуя Мариотту, т.е. предполагая, что эпюра нормальных напряжений имеет вид треугольника (нейтральная линия проходит через нижнюю точку поперечного сечения), он подсчитал разрушающую нагрузку для балки круглого поперечного сечения. Во второй работе Паран принял второй вариант эпюры Мариотта в виде двух треугольников и получил правильное выражение для моментов сопротивления изгибу. Вероятно, Паран понимал, что этой величиной нельзя пользоваться для подсчета разрушающей силы. Для этой цели он предлагал в случае балки прямоугольного поперечного сечения эпюру из двух неодинаковых треугольников. Он обратил внимание на то, что в поперечном сечении консольной балки, нагруженной на конце силой, возникает поперечная сила, по величине равная приложенной.

В 1820 г. А.Дюло, решая задачу изгиба балки в плоскости симметрии с поперечным сечением, имеющим одну ось симметрии, определяет положение нейтральной линии не из равенства растягивающих и сжимающих сил в поперечном сечении, а из равенства их моментов относительно нейтральной линии, что приводит к равенству моментов инерции относительно нейтральной линии растянутой и сжатой частей сечения и справедливо очевидно только для поперечного сечения с двумя осями симметрии.

Только Л.Навье в 1826 г., дал правильное решение задачи об изгибе балки произвольного поперечного сечения. Заметим, что Л.Навье не определил понятие момента инерции площади поперечного сечения. Оно было введено инженером Н.Перси (PersyN.) в 1834г., который разработал теорию моментов инерции. Он же указал, что решение Л.Навье справедливо при условии, что в плоскости действия изгибающего момента лежит одна из главных осей сечения (прямой изгиб).

Приближенное решение задачи определения касательных напряжений при поперечном изгибе балок было дано Д.И.Журавским в 1855 г. в заметке, являющейся частью его труда, написанного в связи с проектированием им в течение 1844-1850 гг. деревянных мостов для железной дороги Москва-Петербург. Совокупность работ, связанных с проектированием мостовых пролетных строений с фермами системы Гау, была представлена в Академию наук и награждена ею премией имени Демидова. Исследование Д.И.Журавского было вызвано тем, что деревянные балки оказывают слабое сопротивление скалыванию вдоль волокон. Им рассмотрены два случая консольных балок: прямоугольного поперечного сечения, нагруженной силой на конце и подверженной воздействию равномерно распределенной нагрузки. Для них получены значения скалывающей силы в нейтральной плоскости и в сечениях, ей параллельных. В первом случае касательные напряжения в продольных сечениях распределены равномерно, а во втором — неравномерно. Интересно, что Д.И.Журавский не использовал дифференциальной зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом, как это принято обычно при выводе формулы для касательного напряжения. Для сплошных сечений решение Журавского основано на предположении, что касательные напряжения, параллельны поперечной силе и не изменяются по ширине сечения.

Начало исследований изогнутой оси стержня в пределах пропорциональности (упругой линии) было положено в работах Я.Бернулли в 1694 и 1705 гг. Он изучал прогибы при изгибе консольной балки прямоугольного поперечного сечения, нагруженной силой, приложенной на конце. При этом, так же как и Э.Мариотт, он принимал однозначную (нейтральная линия совпадает со стороной поперечного сечения), а затем и двузначную (нейтральная линия делит поперечное сечение на две равные части) треугольные эпюры напряжений. При этом Я.Бернулли сделал точно такую же ошибку, что и Мариотт, в результате чего пришел к неправильному заключению о том, что положение нейтральной линии не оказывает влияния на форму изогнутой оси. Однако Я.Бернулли правильно установил пропорциональность кривизны изгибающему моменту, хотя и с неправильным коэффициентом пропорциональности. Эта зависимость была использована Л.Эйлером в его работах по исследованию упругих линий.

По совету Я.Бернулли, Эйлер использовал разрабатываемое им вариационное исчисление, составлявшее предмет его книги, вышедшей в 1744 г., для вывода уравнений упругой линии. Приложение этой книги, которое посвящено упругим кривым, начинается следующей фразой: «Действительно, так как здание всего мира совершенно и возведено премудрым творцом, то в мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума; поэтому нет никакого сомнения, что все явления мира с таким же успехом можно определить из причин конечных при помощи методов максимума и минимума, как и из самих причин производящих». Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня Эйлер получил из условия минимума интеграла:

, где ds — элемент длины стержня, ρ — радиус кривизны его оси. Л.Эйлер не ограничился рассмотрением лишь малых прогибов. Он проинтегрировал в рядах дифференциальное уравнение для больших перемещений, в котором не пренебрегается квадратом первой производной прогиба по сравнению с единицей. Л.Эйлер также рассмотрел изгиб консольной балки переменного поперечного сечения, жесткость которой пропорциональна расстоянию от приложенной силы, изгиб консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (собственный вес), и изгиб стержня малой кривизны, полагая, что разница между конечной и начальной кривизной пропорциональна изгибающему моменту. В связи с последней задачей Эйлер установил, какой должна быть начальная (искривленная) форма консоли для того, чтобы после приложения на конце ее силы она стала прямолинейной. При решении всех этих задач Эйлера не интересовал физический смысл постоянной в линейной зависимости кривизны от изгибающего момента.

Изгиб кривых стержней малой кривизны при малых перемещениях изучал Л.Навье. Он, так же как и Л.Эйлер, принимал, что изменение кривизны прямо пропорционально изгибающему моменту, но в отличие от работы Л.Эйлера коэффициент пропорциональности был определен как величина, обратная жесткости стержня при изгибе.

Общая теория больших перемещений в пределах упругости прямых и кривых стержней малой кривизны в одной плоскости разработана механиком и инженером Евгением Павловичем Поповым и отражена в его монографиях. В них изложена не только теория плоского изгиба прямых и кривых стержней малой кривизны при больших перемещениях, но и приведено значительное количество конкретных задач и числовых примеров. В них приведены общие формулы, которые являются едиными при больших прогибах, как прямых, так и кривых стержней малой кривизны, независимо от схем нагружения и условий закрепления. Составленные автором таблицы и диаграммы освобождают конструкторов от утомительных вычислений.