Аппроксимация АЧХ нормированного прототипа ФНЧ по Кауэру. Эллиптические фильтры. Основные свойства передаточной функции эллиптического фильтра

Эллиптический фильтр (Фильтр Кауэра) — электронный фильтр, характерной особенностью которого является пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.

Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится фильтром Баттерворта.

Амплитудная характеристика эллиптического фильтра низких частот является функцией круговой частоты ω и задаётся следующим выражением:

где Rn — рациональная эллиптическая функция n-го порядка и

ω0 — частота среза

ε — показатель пульсаций (англ. ripple factor)

ξ — показатель селективности (англ. selectivity factor)

Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.

Свойства

Рис. АЧХ эллиптического фильтр низких частот четвёртого порядка с ε=0,5 и ξ=1,05. Также показано минимальное усиление в полосе пропускания, максимальное усиление в полосе подавления и переходная зона между частотами (нормированными) 1 и ξ

Рис. Переходная зона (увеличено).

В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. Полоса пропускания, таким образом, варьирует от единицы до .

В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения Ln, которое определяется как:

Полоса подавления таким образом меняет значения от нуля до .

Предельный случай превращает эллиптическую функцию в многочлен Чебышёва, и, таким образом, эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода с показателем пульсаций ε.

Так как фильтр Баттерворта является предельным случаем фильтра Чебышёва, то при выполнении условий , и так что эллиптический фильтр становится фильтром Баттерворта.

Предельный случай , и так что ξω0 = 1 и εLn = α превращает эллиптический фильтр в фильтр Чебышёва II рода с АЧХ