Полюса и нули

Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса (ωpm) фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту s, получим:

.

Представив − js = cos(θ) и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим:

.

Разрешим последнее выражение относительно θ

.

Тогда полюса фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:

spm = icos(θ) =

.

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:

,

где и .

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром θn. Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в s-плоскости, причём центр эллипса находится в точке s = 0, полуось действительной оси имеет длину , а полуось мнимой оси имеет длину .