Векторное произведение векторов

Будем предполагать, что пространство является ориентированным. Следуя традиции, считаем, что ориентация задана классом эквивалентности, базисы которого удовлетворяют условию: если их векторы отложены от одной точки, то кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму из конца третьего виден против движения часовой стрелки. Такие базисы мы называем правыми (см. § 6).

Определение 1. Под векторным произведением двух неколлинеарных векторов и будем понимать третий вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. Его модуль равен произведению длин сомножителей, умноженному на синус угла между ними

2. Вектор перпендикулярен сомножителям и .

3. Тройка векторов , , имеет правую ориентацию.

Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Свойство1. Если сомножители векторного произведения неколлинеарны, то его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях.

Свойство 3. Для любых векторов и справедливо следующее соотношение: (свойство антикоммутативности).

Свойство 4. Для любых векторов и и любого числа справедливы соотношения: .

Свойство 5. Для любых векторов , и . справедливы соотношения:

Определение 1. Смешанным произведение векторов и называется скалярное произведение вектора на векторное произведение .

Смешанное произведение векторов и будем обозначать через . Итак,

Cвойство 1. Смешанное произведение векторов в том и только в том случае равно нулю, когда сомножители компланарны.

Если векторы и . некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение положительно, если тройка векторов , - правая и отрицательно, если эта тройка левая.

Свойство 3. Для любых векторов , и справедливы следующие соотношения: ,

Свойство 4. Для любых векторов , и любого числа a справедливы следующие соотношения:

Пример. Противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны между собой. Доказать, что суммы квадратов длин противоположных ребер равны друг другу.

Решение. Пусть АВСD - данный тетраэдр (рис. 37). Обозначим векторы и через и . Тогда , . Нам следует доказать, что = . Рассмотрим равенство: . Докажем справедливость этого соотношения, преобразив его в истинное равенство. Раскроем в этом равенстве скобки: = . Отсюда следует, что , или . Последнее равенство является истинным, так как его можно записать в виде , а по условию нам дано, что противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. Аналогично доказывается, что