Моменты инерции простых сечений

Прямоугольник.

Моменты инерции относительно осей Оx, Оx₁, Оy, Оy₁:

.

Произвольный треугольник.

моменты инерции относительно осей Оx, О₁x₁ и О₂x₂,:

Прямоугольный и равнобедренный треугольники.

Для прямоугольного треугольника определим центробежный момент инерции J_xy относительно центральных осей Ox и Oy, параллельных катетам:

Момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси

симметрии Оy:

Круг. Полярный момент инерции круга:

Учитывая, что для круга J_x = J_y и полярный момент согласно равен сумме двух осевых моментов, получим:

Кольцевое сечение. Моменты инерции кольца находятся как разность моментов инерции двух кругов с радиусами R₂ и R₁:

Полукруг.

Относительно осей O₁x₁ и O₁y₁, которые являются главными осями для полукруга, осевые моменты инерции равны половине момента инерции круга:

Момент инерции относительно главной центральной оси определяется с помощью первой формулы:

Геометрические характеристики сечений прокатных профилей (двутавры, швеллеры, уголки) приведены в таблицах сортамента прокатной стали.

Моменты инерции составных сечений. При определении моментов инерции составного сечения последнее разбивают на простые фигуры, у которых известны положения центров тяжести и моменты инерции относительно собственных центральных осей. По формулам (4.6) находят координаты центра тяжести всего сечения в системе произвольно выбранных вспомогательных осей. Параллельно этим осям проводят центральные оси, относительно которых определяют осевые и центробежный моменты инерции по формулам (4.7). Моменты инерции относительно главных центральных осей определяются по формуле (4.11), а положение главных центральных осей – по формулам (4.10).

Далее рассмотрены примеры задач.

5. Примеры решения задач

Пример 1. Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно главных центральных осей сечения, состоящего из полукруга и прямоугольника с вырезом. Размеры сечения на рисунке даны в сантиметрах.

Разобьем сечение на три простые фигуры: полукруг с радиусом R=5 см, прямоугольник с размерами сторон 6x10 см, прямоугольный вырез с размерами 3x6 см и определим площади и моменты инерции этих фигур относительно собственных центральных осей.

Для полукруга по формулам (2.21) и (2.22) имеем:

Положение центра тяжести О₁ полукруга определяется по формуле (2.20) и равно 0,424·5 = 2,12 см (рис.2.15).

Для прямоугольника и прямоугольного выреза по формулам (2.13) получим

Площадь всего сечения равна F = 39,2 + 60 – 18 = 81,2 см².

Центр тяжести О сечения лежит на горизонтальной оси симметрии. Для определения его положения выберем в качестве вспомогательной оси центральную ось прямоугольника O₂y₂. Тогда получим

.

Отложим эту величину от оси О₂y₂ вправо и проведем ось Оy, которая вместе с осью Ох составит пару главных центральных осей всего сечения. Определим координаты центров тяжести отдельных фигур в системе координат Оxy: а₁ = 2,32 см, а₂ = – 2,80 см, а₃ = – 4,30 см.

По формулам (2.6) найдем моменты инерции сечения относительно осей Ох и Оy:

Пример 2.Для стержня несимметричного сечения, составленного из швеллера [ 30 и неравнобокого уголка L180х110х12, определим центр тяжести сечения, моменты инерции относительно главных центральных осей и положение этих осей. На рисунке размеры даны в сантиметрах.

Выпишем геометрические характеристики сечения швеллера:

Геометрические характеристики сечения неравнобокого уголка:

Величину центробежного момента инерции уголка (в сортаменте она не приведена) определим по второй из формул (2.11):

,

где tga = 0,374 – тангенс угла наклона главной оси u к оси Ох₂, величина которого приведена в сортаменте.

Площадь всего сечения равна F = 40,5 + 33,7 = 74,2 см².

Для определения положения центра тяжести выберем в качестве вспомогательных осей оси швеллера О₁x₁ и О₁y₁. Тогда по формулам (2.5) получим

Эти величины и координаты центров тяжести швеллера и уголка в системе координат Охy показаны на рисунке и соответственно равны:

a₁= – 3,85 см, b₁ = – 5,67 см, а₂ = 4,64 см, b₂ = 6,81 см.

Определим по формулам (2.6) моменты инерции сечения относительно центральных осей Ох и Оy.

По формулам (2.12) и (2.11) найдем величины главных моментов инерции и углы наклона главных осей 1 и 2 к оси Ох:

Пример 3. Для статически определимого стержня ступенчато постоянного сечения при заданных осевых нагрузках и геометрических размерах по строке требуется:

1.Определить опорную реакцию в месте закрепления стержня.

2.Вычислить значения продольных сил и нормальных напряжений в характерных сечениях и построить эпюры этих величин.

3.Найти величины абсолютных удлинений (укорочений) участков стержня и величину общего удлинения (укорочения) стержня в целом.

4.Определить значения осевых перемещений характерных сечений и построить эпюру осевых перемещений.

1. Составим уравнение равновесия:

2. Вычислим значения продольных сил:

Участок 1:

При ;

При ;

Значение продольной силы линейно уменьшается

Участок 2:

При ;

При ;

Значение продольной силы не изменяется

Участок 3:

При ;

При ;

Значение продольной силы линейно уменьшается.

Найдем величины нормальных напряжений в характерных сечениях:

Участок 1:

При ;

При ;

Участок 2:

При ;

Участок 3:

При ;

При ;

Величины абсолютных удлинений каждого их участков стержней найдем по формуле:

, где - площадь под эпюрой продольных сил на каждом участке.

Тогда получаем:

Стержень удлиняется.

Определим величины осевых перемещений характерных сечений.

На участках 1 и 3 эпюра осевых перемещений имеет вид квадратичной параболы, на участке 2 изменяется линейно.

Пример 4. Для статически неопределимой стержневой системы, состоящей из абсолютно жесткой балки AB и поддерживающих ее стальных стержней 1 и 2 по схеме №…. при геометрических размерах, соотношениях площадей поперечных сечений стержней F₂/F₁ и величине нормативной нагрузки Р, указанных в строке № …. табл.2, требуется:

1.Определить расчетное значение нагрузки, приняв коэффициент надежности по нагрузке γ_f = 1,2.

2.Определить усилия в стержнях системы. Собственную массу элементов стержневой системы не учитывать.

3.Подобрать сечения стрежней в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков, используя метод расчета по предельным состояниям. При подборе сечений обеспечить заданное соотношение площадей F₂/F₁. Расчетное сопротивление по пределу текучести стали марки ВСТ3 принять равным 210 МПа, коэффициент условий работы γ_с = 0,9.

4.Определить величины нормальных напряжений в поперечных сечениях стержней и проверить выполнение условий прочности.

5.Определить величины удлинений стержней, приняв Е=2,1·10⁵ МПа.

6.Определить нагрузку Р_т, при которой в системе возникают первые пластические деформации, считая, что материал стержней следует диаграмме Прандтля и имеет предел текучести σ_т = 240 МПа.

7.Определить разрушающую нагрузку Р_разр, при которой система полностью исчерпывает свою несущую способность.

Таблица 2

1. Определим расчетные значения нагрузки:

2. Определим усилия в стержнях. Система является статически неопределимой. Представим систему в деформированном виде. Рассмотрим:

, где

Тогда получаем:

, где

-256kH

Отрицательные знаки говорят о том, что действительные направления сил противоположны указанным на чертеже.

Вычисляем напряжения в стержнях 1 и 2

,

Определяем требуемые по условию прочности площади поперечных сечений

Проверим соотношение , условие выполняется.

Принимаем по сортаменту сечения стержней в виде двух стальных прокатных равнобоких уголков.

Стержень 1: профиль №7, ,

Стержень 2: профиль №10, ,

Определим удлинения стержней при

Определим нагрузку

, σ_т = 240 МПа

Находим из уравнения равновесия величину Р_разр:

Пример 5. Для рамы с шарнирными опорами построим эпюры N,Q, и M.

Определяем величины опорных реакций.

Определяем внутренние усилия в характерных сечениях каждого участка рамы.

Построим эпюры N, Q, и M:

Вырежем мысленно узел D и покажем его равновесие под действием внутренних усилий в стержнях, сходящихся в узле. Нетрудно видеть, что узел находится в равновесии:

Пример 6. Рассчитать на прочность по методу предельных состояний двутавровую прокатную балку.

Материал балки сталь ВСт 3. Предел текучести σ_т = 240 МПа, расчетное сопротивление по пределу текучести R= 210 МПа, расчетное сопротивление при сдвиге R_s = 130 МПа. Коэффициент условий работы γ_с = 0,9. В табл. 2 приведены нормативные значения нагрузок. Коэффициент надежности по нагрузке γ_f = 1,2.

1.Определить опорные реакции;

2.Вычислить величины внутренних усилий в характерных сечениях и построить эпюры внутренних усилий.

3.Подобрать сечение балки из двутавра, используя условие прочности по первой группе предельных состояний.

Решение.

1. Определим опорные реакции.

2. Проверка: , получаем

Реакции найдены правильно.

3. Построим эпюры Q и M.

Разобьем нашу балку на три участка и найдем суммы сил и моментов, действующих на каждом участке.

Для эпюры Q:

I участок:

II участок:

III участок: ,

В конце балки

Для эпюры M:

I участок: ; где

II участок: , где ;

III участок: , где ;

На участке 1 эпюра М имеет вид квадратичной параболы, ветви которых направлены вверх.

Построим схему конструкции и эпюры Q и M:

Значения М и Q в характерных сечениях балки указаны на эпюрах.

Опасным является сечение в точке с координатой , где . Расчетное значение

Требуемый момент сопротивления равен

По сортаменту прокатной стали принимаем двутавровый профиль № 22

h=220мм, b=110мм, d=5.4мм, t=8.7мм, J_x=2550см⁴, W=232см³, S_x=131см³

Вычислим значения наибольших нормальных напряжений в опасном сечении балки:

Прочность балки обеспечена.

6. Задания для контрольной работы

ЗАДАЧА № 1

Для сечений, имеющих одну ось симметрии, по схемам №1-16 при размерах, указанных в таблице 2, требуется определить:

1) положение центра тяжести;

2) положение главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции.

Таблица 2

Схемы сечений стержней:

ЗАДАЧА № 2

Для несимметричных сечений по схемам №1-16 при размерах, указанных в таблице 3, требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) вычислить осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей;

3) определить положение главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции;

4) построить круг инерции и определить графически величины главных моментов инерции и направления главных центральных осей;

5) сравнить результаты аналитического и графического расчетов.

Таблица 3

Схемы сечений стержней: