Токи в других фазах симметричного трехфазного приёмника могут быть найдены сдвигом по фазе рассчитанного тока ỈAB на 1200 (см. 5.5)

Ỉ_ВС = Ỉ_AB • е ^{– j 120} = 5,2 е ^{j 30} •е ^{– j 120} = 5,2 е ^{– j 90} А;

Ỉ_СА = Ỉ_AB • е ^{j 120} = 5,2 е ^{j 30} •е ^{j 120} = 5,2 е ^{j 150} А.

Линейные токи, подходящие к симметричному треугольнику (Ỉ_A1, Ỉ_В1 и Ỉ_С1), могут быть определены по первому закону Кирхгофа (см. рис 6.15). Так линейный ток Ỉ_A1 определяется по формуле.

Ỉ_A1 = Ỉ_AB – Ỉ_СА = 5,2 е ^{j 30} – 5,2 е ^{j 150} = 5,2cos(30⁰) + j5,2sin(30⁰) – 5,2cos(150⁰)

– j5,2sin(150⁰) = 4,5 + j2,6 + 4,5 – j2,6 = 9e^j0 А.

В то же время линейный ток Ỉ_A1 можно рассчитать и по-другому. В симметричной трёхфазной цепи, соединённой в треугольник, линейные токи в раз больше фазных и сдвинуты относительно их на –30⁰ . Тогда

Ỉ_A1 = Ỉ_AB • е ^{– j 30} = • 5,2 е ^{j 30} • е ^{-j 30} = 9e^j0 = 9 А.

Аналогично можно найти и два других линейных тока (Ỉ_В1 и Ỉ_С1). Однако в симметричной трехфазной цепи токи всех фаз равны по величине и сдвинуты друг относительно друга на 120⁰. Поэтому

Ỉ_В1 = Ỉ_A1 • е ^{– j 120} = 9 е ^{– j 120} = – 4,5 – j 7,8 А;

Ỉ_С1 = Ỉ_A1 • е ^{j 120} = 9 е ^{j 120} = – 4,5 + j7,8 А.

Для несимметричного приёмника, соединённого звездой с нейтральным проводом, комплекс действующего значения фазных токов (Ỉ_A2, Ỉ_В2 и Ỉ_С2) определяется приложенным к фазе напряжением и сопротивлением фазы.

Ỉ_A2 = Ủ_А: Z ₁ = 300е ^{j 0}: 122e ^{–j 35} = 2,46e ^{j 35} = 2,02 + j1,41 A;

Ỉ_B2 = Ủ_B : Z ₂ = 300е ^{– j 120}: 100e ^{j 37} = 3 е ^{– j 157} = – 2,76 – j1,17 А;

Ỉ_C2 = Ủ_C : Z ₃ = 300е ^{j 120}: 90e ^{j 0} = 3,33 е ^{j 120} = – 1,66 + j2,88 А.

Из-за несимметрии приёмника, соединённого звездой, в нейтральном проводе протекает ток.

İ_N = İ_A2 + İ_B2 + İ_C2 = 2,02 + j1,41–2,76– j1,17–1,66 + j2,88 = – 2,4 + j3,12=3,9e ^j127,6

Расчёт фазных токов источника электрической энергии проводим по первому закону Кирхгофа (см. рис. 6.15).

Ỉ_A = Ỉ_A1 + Ỉ_A2 = 9 + 2,02 + j1,41 = 11,02 + j1,41 = 11,11e ^{j 7,3} А;

Ỉ_В = Ỉ_В1 + Ỉ_В2 = – 4,5 – j 7,8 – 2,76 – j1,17 = – 7,26 – j8,97 = 11,54e ^{–j 129} А;

Ỉ_С = Ỉ_С1 + Ỉ_С2 = – 4,5 + j 7,8 – 1,66 + j2,88 = – 6,16 + j10,68 = 12,33e ^{j 120} А.

4. Определим напряжение на всех элементах электрической цепи.

Напряжение на фазах приёмника энергии, соединённого треугольником, равно линейным напряжениям источника энергии.

Ủ_АB = 520 е ^{j 30} В; Ủ_ВC = 520 е ^{–j 90} В; Ủ_CA = 520 е ^{j 150} В.

Напряжение на элементах фаз приёмника энергии, соединённого звездой, рассчитаем по закону Ома.

Ủ_R1 = Ủ_Аa1 = R₁ • Ỉ_A2 = 100 • 2,46e ^{j 35} = 246е ^{j 35} В;

Ủ_C3 =Ủ_a1N =(– jX_C3) • Ỉ_A2 = – j70• 2,46e ^{j 35} = 70е ^{–j 90} • 2,46e ^{j 35} =172,2 е ^{–j 55} В;

Ủ_R2 = Ủ_Bb1 = R₂ • Ỉ_B2 = 80 • 3е ^{– j 157} = 240е ^{– j 157} В;

Ủ_L2 = Ủ_b1N = jX_L2 • Ỉ_B2 = j60 • 3е ^{– j 157} = 60е ^{j 90} • 3е ^{– j 157} = 180е ^{– j 67} B.

Напряжение на фазе С приёмника энергии в связи с наличием нейтрального провода равно напряжению фазы С источника энергии.

Ủ_R3 = U_CN = Ủ_C = 300е ^{j 120}В.

5. Проверка расчёта по балансу мощности проводится расчётом мощности источника и приёмника энергии и их сопоставлением.

Расчёт активной, реактивной и полной мощности источника электрической энергии может быть проведён с помощью комплекса полной мощности или как сумму мощностей отдельных фаз.

Расчёт активной, реактивной и полной мощности источника электрической энергии проведём с помощью комплекса полной мощности.

S _И= +

,

где , , сопряжённые комплексы токов трёхфазного источника, отличающиеся от комплексов действующего значения знаком начальной фазы.

Активная мощность трёхфазного источника энергии равна действительной части комплекса полной мощности P_И = 10420 Вт. Реактивная мощность равна мнимой части комплекса полной мощности Q_И =117,21 ВАр. Полная мощность равна модулю комплекса полной мощности S_И = 10421 ВА.

При расчёте мощности источника по отдельным фазам имеем.

Активная мощность фазы А

P_A = U_A • I_A • cos(Ψ_UA – Ψ_IA) = 300 • 11,11• cos(0⁰ – 7,3⁰) = 3306 Вт,

где U_A и I_A – действующее значение напряжения и тока фазы А;

Ψ_UA и Ψ_IA – начальные фазынапряжения и тока фазы А.

Реактивная мощность фазы А

Q_A = U_A • I_A • sin(Ψ_UA – Ψ_IA ) = 300 • 11,11• sin(0⁰ – 7,3⁰) = – 425,5 ВАр.

Полная мощность фазы А

S_A = U_A • I_A = 300 • 11,11= 3333 ВA.

Аналогично рассчитываются активная, реактивная и полная мощности фаз В и С.

P_B = U_B • I_B • cos(Ψ_UB – Ψ_IB) = 300•11,54•cos(–120⁰ – (–129⁰)) = 3418 Вт,

Q_B = U_B • I_B • sin(Ψ_UB – Ψ_IB) = 300•11,54• sin(–120⁰ – (–129⁰)) = 545,6 ВAр,

S_B = U_B • I_B = 300•11,54 = 3462 ВA,

P_C = U_C • I_C • cos(Ψ_UC – Ψ_IC ) = 300 • 12,33• cos(120⁰ – 120⁰) = 3698 Вт,

Q_C = U_C • I_C • sin(Ψ_UC – Ψ_IC ) = 300 • 12,33• sin(120⁰ – 120⁰) = 0 ВAр,

S_C = U_C • I_C = 300 • 12,33 = 3699 ВА.

Активная мощность трехфазного источника энергии

P = P_A + P_В + P_С = 3305 + 3418 + 3698 = 10421 Вт.

Реактивная мощность трехфазного источника энергии

Q = Q_A + Q_В + Q _С = – 425,5 + 545,6 + 0 = 117,18 ВАр.

Полная мощность трехфазного источника энергии

S = S_A + S_В + S _С = 3333 + 3462 + 3699 = 10424 ВА.

В соответствии с балансом мощности мощность приёмников энергии должна быть равна мощности источников энергии электрической цепи.

Комплекс полной мощности приёмников энергии определяется выражением.

S _П= ∑(R_K ± jX_K ) =

.

Сопоставление мощностей источника и приёмника показывает их отличие, которое можно объяснить округлением результатов расчёта на каждом из этапов. Погрешность в расчёте мощностей:

% = 0%, % = 0,02%,

% = 0%.

6. Построение потенциальной (топографической) диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов рационально начать с потенциальной (топографической) диаграммы напряжений. На диаграмме откладываем векторы всех напряжений в соответствии с их величиной и угловым положением.

Ủ_А = 300е ^{j 0}В; Ủ_В = 300е ^-j120 В; Ủ_С = 300е ^j120 В,

Ủ_АB = 520 е ^{j 30} В; Ủ_BC = 520 е^{-j 90} В; Ủ_CA = 520 е ^{j 150} В;

Ủ_R1 = Ủ_Аa1 = 246е ^{j 35} В; Ủ_C3 =Ủ_a1N = 172,2 е ^{–j 55} В;

Ủ_R2 = Ủ_Bb1 = 240е ^{– j 157} В; Ủ_L2 = Ủ_b1N = 180е ^{– j 67} B.

Обратите внимание на то, что при построении диаграмм для трехфазных цепей оси координат сдвинуты относительно однофазных на 90⁰ против часовой стрелки.

Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений имеет вод

рис. 6.18.

Рис. 6.18. Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений трехфазной цепи

На векторной диаграмме токов откладываем векторы токов в соответствии с их величиной и угловым положением.

Ỉ_AB = 5,2 е ^{j 30} А; Ỉ_ВС = 5,2 е ^{– j 90} А; Ỉ_СА = 5,2 е ^{j 150} А;

Ỉ_A1 = 9e^j0 А; Ỉ_В1 = 9 е ^{– j 120} А; Ỉ_С1 = 9 е ^{j 120} А;

Ỉ_A2 = 2,46e ^{j 35} А; Ỉ_B2 = 3 е ^{– j 157} А; Ỉ_C2 = 3,33 е ^{j 120} А;

Ỉ_A = 11,11e ^{j 7,3} А; Ỉ_В = 11,54e ^{–j 129} А; Ỉ_С = 12,33e ^{j 120} А.

Векторная диаграмма токов электрической цепи представлена на рис 6.19.

Совмещая потенциальную (топографическую) диаграмму напряжений с векторной диаграммой токов, получим общую диаграмму напряжений и токов (рис. 6.20), по которой легко проследить их взаимное расположения (у резисторов напряжение и ток совпадают по фазе, у катушек индуктивности ток отстаёт от напряжения на 90⁰ , а у конденсаторов он опережает напряжение на 90⁰ ).

Рис. 6.20. Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов трехфазной электрической цепи

Рассмотрим решение задачи №4 на примере при отсутствии нейтрального провода.

1. Схема замещения электрической цепи. Пусть в таблице 6.9 задано

Данным таблицы соответствует схема замещения рис. 6.21.

Рис. 6.21 Схема трёхфазной цепи при отсутствии нейтрального провода

Схема рис. 6.21 отличается от рис. 6.17 только отсутствием нейтрального провода между нейтралью источника (N) и нейтралью приёмника, соединённого звездой (n). При этом наличие или отсутствие нейтрального провода никак не влияет на приёмник, соединённый треугольником. То есть методика расчета приёмника при отсутствии нейтрального провода, соединённого треугольником, будет та же, что и при наличии нейтрального провода. Поэтому для упрощения сохраним те же параметры элементов схемы.

2.Тогда, в соответствии с предыдущим расчётом, имеем (см.5.5)

Ẻ_В = 300е ^-j120 В.

Ẻ_А = 300е ^{j (-120 + 120)} = 300е ^{j 0} В; Ẻ_C = 300е ^{j(-120 – 120)} = 300е ^-j240 = 300е ^j120 В.

Ủ_А = 300е ^{j 0}В; Ủ_В = 300е ^-j120 В; Ủ_С = 300е ^j120 В.

Ủ_АB = Ủ_Ае ^{j 30} = •300е ^{j 0} • е ^{j 30} = 520 е ^{j 30} В;

Ủ_ВC = Ủ_Bе ^{j 30} = •300е ^{– j 120} • е ^{j 30} = 520 е ^{–j 90} В;

Ủ_CA = Ủ_Cе ^{j 30} = •300е ^{j 120} • е ^{j 30} = 520 е ^{j 150} В.

Сопротивления ветвей электрической цепи, соединённых звездой.

Z ₁ = R₁ – jX_C3 = 100 – j70 = (√100² + 70² )e ^{j arc tg (– 70 / 100)} = 122e ^{–j 35} Ом;

Z ₂ = R₂ + jX_L2 = 80 + j60 = (√80² + 60² )e ^{j arc tg (60 / 80)} = 100e ^{j 37} Ом;

Z ₃ = R₃ = 90 = 90e ^{j 0} Ом.

Сопротивления ветвей электрической цепи, соединённых треугольником.

Z ₄ = R₁ = 100 = 100e ^{j 0} Ом.

3. Из расчёта токов в ветвях электрической цепи имеем

Ỉ_AB = Ủ_АB: R₁ = 520 е ^{j 30} : 100e ^{j 0} = 5,2 е ^{j 30} А.

Ỉ_ВС = Ỉ_AB • е ^{– j 120} = 5,2 е ^{j 30} •е ^{– j 120} = 5,2 е ^{– j 90} А;

Ỉ_СА = Ỉ_AB • е ^{j 120} = 5,2 е ^{j 30} •е ^{j 120} = 5,2 е ^{j 150} А.

Ỉ_A1 = Ỉ_AB – Ỉ_СА = 5,2 е ^{j 30} – 5,2 е ^{j 150} = 5,2cos(30⁰) + j5,2sin(30⁰) – 5,2cos(150⁰)

– j5,2sin(150⁰) = 4,5 + j2,6 + 4,5 – j2,6 = 9e^j0 А.

Ỉ_В1 = Ỉ_A1 • е ^{– j 120} = 9 е ^{– j 120} = – 4,5 – j 7,8 А;

Ỉ_С1 = Ỉ_A1 • е ^{j 120} = 9 е ^{j 120} = – 4,5 + j7,8 А.

Для расчёта токов несимметричного приёмника, соединённого звездой без нейтрального провода (Ỉ_A2, Ỉ_В2 и Ỉ_С2), необходимо определить приложенные к фазам напряжение. Поскольку нейтраль приёмника не соединена с нейтралью источника, то потенциал точки n за счёт несимметрии смещается относительно потенциала точки N. Напряжение смещения определяется формулой.

Ů_nN = ,

где проводимости фаз приёмника Y ₁ , Y ₂ и Y ₃ рассчитываются по формулам

См,

См,

См.

Подставляя численные значения, получим величину напряжения смещения.

Ů_nN =

В.

Напряжения на фазах несимметричного приёмника

Ů_an = Ů_A – Ů_nN = 300 – (– 98,8 +j115,3) = 399,2 – j115,7 = 415,7e^–j16 ,

Ů_bn = Ů_B – Ů_nN = –150 – j260 – (– 98,8 +j115,3) = – 50.8 – j375,5 = 378,9e^-j97,8 ,

Ů_cn = Ů_C – Ů_nN = –150 + j260 – (– 98,8 +j115,3)= – 50,8 + j144,08 = 152,8e^j109,5 .

Фазные токи несимметричного приёмника

İ_А2 = Y ₁ Ů_an = 0,0082e^j35 415e^-j16 = 3,4e^j19 = 3,2 +j1,1,

İ_B2 = Y ₂ Ů_bn = 0,01e^-j37 388,8e^-j97,8 = 3,8e^-j134,8 = –2,7 – j2,7,

İ_C2 = Y ₃ Ů_cn = 0,011e^j0 153,5e^j109,5 = 1,7e^j109,5 = – 0,56 + j1,6.

Расчёт фазных токов источника электрической энергии проводим по первому закону Кирхгофа (см. рис. 6.19).

Ỉ_A = Ỉ_A1 + Ỉ_A2 = 9 + 3,2 + j1,1 = 12,2 + j1,1 = 12,25e ^{j 5,2} А;

Ỉ_В = Ỉ_В1 + Ỉ_В2 = – 4,5 – j 7,8 – 2,7 – j2,7 = – 7,2 – j10,5 = 12e ^{–j 124,4} А;

Ỉ_С = Ỉ_С1 + Ỉ_С2 = – 4,5 + j 7,8 – 0,5 + j1,6 = – 5 + j9,4 = 10,7e ^{j 118} А.

4. Определим напряжение на всех элементах электрической цепи.

Напряжение на фазах приёмника энергии, соединённого треугольником, равно линейным напряжениям источника энергии.

Ủ_АB = 520 е ^{j 30} В; Ủ_ВC = 520 е ^{–j 90} В; Ủ_CA = 520 е ^{j 150} В.

Напряжение на элементах фаз приёмника энергии, соединённого звездой, рассчитаем по закону Ома.

Ủ_R1 = Ủ_aa1 = R₁ • Ỉ_A2 = 100 • 3,4e ^{j 19} = 340,5е ^{j 19} В;

Ủ_C3 =Ủ_a1n =(– jX_C3) • Ỉ_A2 = – j70• 3,4e ^{j 19} = 70е ^{–j 90} • 3,4e ^j19 = 238,4 е ^{–j 71} В;

Ủ_R2 = Ủ_bb1 = R₂ • Ỉ_B2 = 80 • 3,8е ^{– j 134,8} = 303е ^{– j 134,8} В;

Ủ_L2 = Ủ_b1n = jX_L2 • Ỉ_B2 = j60 • 3,8е ^{– j 134,8} = 60е ^{j 90} • 3,8е ^{– j 134,8} = 227е ^{– j 44,8} B.

Напряжение на фазе c приёмника энергии в связи с отсутствием нейтрального провода равно напряжению Ů_cn.

Ủ_R3 = Ů_cn = 152,8e^j109,5 В.

5. Проверка расчёта по балансу мощности – это равенство мощностей источника и приёмника энергии. Расчёт активной, реактивной и полной мощности источника электрической энергии проведём с помощью комплекса полной мощности.

S _И= +

,

где , , сопряжённые комплексы токов трёхфазного источника, отличающиеся от комплексов действующего значения знаком начальной фазы.

Активная мощность трёхфазного источника энергии равна действительной части комплекса полной мощности P_И = 10637 Вт. Реактивная мощность равна мнимой части комплекса полной мощности Q_И =102,2 ВАр. Полная мощность равна модулю комплекса полной мощности S_И = 10638 ВА.

В соответствии с балансом мощности мощность приёмников энергии должна быть равна мощности источников энергии электрической цепи.

Комплекс полной мощности приёмников энергии определяется выражением.

S _П= ∑(R_K ± jX_K ) =

.

Сопоставление мощностей источника и приёмника показывает их отличие, которое можно объяснить округлением результатов расчёта на каждом из этапов. Погрешность в расчёте мощностей:

% = 0%, % = 0,2%,

% = 0%.

6. Построение потенциальной (топографической) диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов рационально начать с потенциальной (топографической) диаграммы напряжений. На диаграмме откладываем векторы всех напряжений в соответствии с их величиной и угловым положением.

Ủ_А = 300е ^{j 0} В; Ủ_В = 300е ^-j120 В; Ủ_С = 300е ^j120 В,

Ủ_АB = 520 е ^{j 30} В; Ủ_BC = 520 е^{-j 90} В; Ủ_CA = 520 е ^{j 150} В;

Ů_nN = 152,5 e^j130,6 B; Ủ_R1 = Ủ_Аa1 = 340,5е ^{j 19} В; Ủ_C3 =Ủ_a1n = 238,4 е ^{–j 71} В;

Ủ_R2 = Ủ_Вb1 = 303е ^{– j 134,8} В; Ủ_L2 = Ủ_b1n = 227е ^{– j 44,8} B;

Ủ_R3 = Ů_Сn = 152,8e^j109,5 В.

Обратите внимание на то, что при построении диаграмм для трехфазных цепей оси координат сдвинуты относительно однофазных на 90⁰ против часовой стрелки.

Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений имеет вод

рис. 6.22.

Рис. 6.22. Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений

На векторной диаграмме токов откладываем векторы токов в соответствии с их величиной и угловым положением.

Ỉ_AB = 5,2 е ^{j 30} А; Ỉ_ВС = 5,2 е ^{– j 90} А; Ỉ_СА = 5,2 е ^{j 150} А;

Ỉ_A1 = 9e^j0 А; Ỉ_В1 = 9 е ^{– j 120} А; Ỉ_С1 = 9 е ^{j 120} А;

İ_А2 = 3,4e^j19 ; İ_B2 = 3,8e^-j134,8 ; İ_C2 = 1,7e^j109,5;

Ỉ_A = 12,25e ^{j 5,2} А; Ỉ_В = 12e ^{–j 124,4} А; Ỉ_С = 10,7e ^{j 118} А.

Векторная диаграмма токов электрической цепи представлена на рис 6.23.

Рис. 6.23. Векторная диаграмма токов

Совмещая потенциальную (топографическую) диаграмму напряжений с векторной диаграммой токов, получим общую диаграмму напряжений и токов (рис. 6.24), по которой легко проследить их взаимное расположения (у резисторов напряжение и ток совпадают по фазе, у катушек индуктивности ток отстаёт от напряжения на 90⁰ , а у конденсаторов он опережает напряжение на 90⁰ ).

Рис. 6.24. Потенциальная (топографическая) диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов

Содержание