![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Методи оптимізації
В задачах оптимізації автоматичних систем керування найбільше застосування знайшли: - принцип максимуму Л.С. Понтрягіна; - метод динамічного програмування Р.Беллмана. Принцип максимуму Л.С. Понтрягіна заснований на класичному варіаційному численні і є його узагальненням та випадки, коли оптимальні керування обмежені і становлять кусково-безперервні функції з точками розриву першого роду, кількість яких невідома. Принцип максимуму є необхідною і достатньою умовою оптимальності процесу керування для лінійних об’єктів, а для нелінійних об’єктів-лише необхідним. За принципом максимуму визначається для нелінійних об’єктів не оптимальне керування, а звужена група допустимих керувань.Тоді оптимальне керування, якщо воно взагалі існує, буде належати саме до цієї групи. Суть методу полягає в наступному. Динаміка об’єкта задається у вигляді диференціальних рівнянь:
або у векторній формі
де: Ці керування є кусково-безперервними функціями і називаються допустимими. Задається також функіонал:
Задача оптимізації полягає в тому, щоб серед допустимих керувань знайти таке, яке переводить об’єкт з початкового стану Принцип максимума передбачає використання додаткових процедур: - вводиться додаткова штучна змінна стану
де: - вводяться допоміжні функції
- приєднується вираз (4.31) до системи (4.28), що утворює систему з (n+1) рівнянь
або у векторній формі
Тут необхідно звернути увагу на такі обставини: у виразі (4.33) права частина не залежить від - вводиться допоміжна функція
- рівняння (4.33) та (4.32) об’єднують в одну систему (в механіці - система Гамільтона):
Рівняння (4.36) - це рівняння об’єкта, а (4.37) - спряжені рівняння. В такій постановці принцип максимуму формулюється так: - для того, щоб керування
При чому Принцип максимуму має добру геометричну інтерпретацію. Приймемо, що необхідно перевести об’єкт з початкової точки П в кінцеву К за мінімальний час (рис 4.4.)
Рис 4.4. До принципу максимуму Кожній точці фазового простору,який оточує т.К, відповідає певна оптимальна траекторія і відповідний мінімальний час переходу в цю точку. Навколо т.К можна побудувати поверхні, які будуть геометричним місцем точок з однаковим мінімальним часом
де: Таким чином умовою оптимальності є максимум проекції вектора Метод динамічного прграмування зручно застосовувати в задачах оптимізації багатостадійних процесів, коли оптимальну траекторію можна поділити на окремі дільниці, а стадія передбачає часовий інтервал проведення процесу. Принцип оптимальності в методі динамічного програмування формулюється так: - будь-яка кінцева ділянка оптимальної траекторії є також оптимальною, тобто частина оптимальної траекторії від будь-якої проміжної точки до кінця буде оптимальною, якщо цю точку вважати початком траекторії. Таким чином, оптимальна стратегія не залежить від попереднього стану системи, а визначається лише її станом у даний момент; - оптимальний розв’язок має таку властивість, що за будь-якого стану У фазовому просторі (рис.4.5.) показана оптимальна траєкторія 1-2 між точками П і К, і кожна її дільниця буде також оптимальною, а не 2’. Рис 4.5. Оптимальна система руху систем Сутність метода динамічного програмування можна пояснити на такому прикладі (рис.4.6.). Нехай об’кт необхідно перевести з точки Н в точку К за n кроків, кожний за яких, крім останнього, має Рис. 4.6. До метода динамічного програмування Значення цього критерія залежить від траекторії руху, і можна визначити приріст Ефективним алгоритмом є отримання розв’язку, починаючи з кінцевої точки К. Для кожної точки
тобто вибір з 109 варіантів зводиться до послідовного вибору на кожному кроці з десяти варіантів. Існують також алгоритми для знаходження оптимальної траекторії в прямому напрямку від т.П до т.К. Формалізувати процедуру знаходження оптимального розв’язку за методом динамічного програмування можна так: приймається, що величина втрат
Функцію
ому,що для переходу із стану Функція Беллмана Для неперервних систем метод динамічного програмування в математичній постановці формулюється так. Задається нелінійне векторне диференціальне рівняння нестаціонарного об’єкта:
Необхідно знайти керування
при заданому початковому стані
причому мінімізоване значення
Повна похідна інтеграла (4.43) по змінній нижній границі
З урахування рівнянь об’єкта (4.41):
Це рівняння справедливе для будь-якого допустимого керування
Це рівняння Беллмана в іншій формі, яке в компактному вигляді можна записати так:
або:
де: Рівняння Беллмана – специфічне диференціальне рівняння першого порядку в частинних похідних відносно однієї змінної Рівняння (4.49)-(4.51) виражають необхідну умову оптимальності керування і визначають порядок розв’язання задачі оптимального керування методом динамічного програмування. На першому етапі мінімізують вираз в правій частині, тобто диференціюють його за керуванням
При підстановці (4.52) в (4.51) в останньому вже не буде операції мінімізації та керування
Нарешті, отримавши функцію
Date: 2016-02-19; view: 380; Нарушение авторских прав |