Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости

Способ решения таких задач: проведение вспомогательной линии (на плоскости, на поверхности) конкурирующей с данной пря мой, а затем определение взаимного положения данной и вспомогательной прямых – является упрощенным толкованием так называемого способа посредников. В качестве посредника здесь используется проецирующая плоскость. При этом действуют следующим образом. Вначале через данную прямую проводится проецирующая плоскость (посредник) и находится прямая пересечения данной плоскости и проецирующей плоскости-посредника. Затем определяется относительное положение заданной прямой и прямой пересечения плоскостей. Поскольку прямая пересечения плоскостей является прямой принадлежащей заданной плоскости и конкурирующей с заданной прямой, то фактически в этом случае способ посредников есть способ конкурирующих прямых. Возможны три варианта расположения прямой и плоскости относительно друг друга: прямая может принадлежать плоскости, пересекаться с ней или быть ей параллельной. Из геометрии известно:

• прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости (т.е. она совпадает с некоторой прямой лежащей в плоскости), (рисунок 35а);

• прямая пересекается с плоскостью, если она пересекается с какой-либо прямой этой плоскости, (рисунок 35б);

• прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой- либо прямой лежащей в плоскости.

Таким образом определение взаимного расположения прямой и плоскости сводится, в общем случае, к определению взаимного расположения двух прямых – данной прямой и вспомогательной прямой, принадлежащей данной плоскости. Обычно в качестве вспомогательной прямой выбирают прямую, конкурирующую с данной прямой. Следовательно: чтобы определить взаимное расположение прямой l и плоскости, нужно на данной плоскости провести вспомогательную прямую α, конкурирующую с данной прямой l, и определить взаимное положение конкурирующих прямых l и α. Если эти прямые пересекаются в некоторой точке, то в этой же точке данная прямая пересекается с плоскостью. Если же конкурирующие прямые совпадают или параллельны, то данная прямая, соответственно, принадлежит или параллельна данной плоскости. Рассмотрим все три варианта. На рисунке 36а изображена прямая l и плоскость общего положения заданная треугольником АВС. Определим их взаимное положение. Построим на плоскости треугольника вспомогательную прямую α, горизонтально конкурирующую с прямой l. Прямую α в плоскости определяют точки 1 и 2, взятые на сторонах треугольника АС и СВ. С помощью этих точек прямая α легко строится на фронтальной проекции (виде спереди), где отмечаем, что прямые l и α пересекаются. Следовательно точка К – точка пересечения прямых и будет точкой пересечения прямой l с данной плоскостью. Определим видимость прямой l относительно плоскости треугольника. На фронтальной проекции видно, что левее точки К прямая l расположена ниже прямой α, а значит и плоскости треугольника. Поэтому на горизонтальной проекции (виде сверху) левее точки К прямая l будет невидимой, и наоборот, правее точки К – видимой. Видимость прямой l на фронтальной проекции (виде спереди) легко определить исходя из того, что плоскость треугольника является нисходящей. Поскольку нами уже определено, что левее точки К прямая расположена ниже плоскости, то она вместе с тем расположена и перед плоскостью. Это означает, что на фронтальной проекции (виде спереди) прямая l левее точки К видима, и наоборот, правее точки К – невидима. Для увеличения наглядности на рисунке 36 плоскость ограничена треугольником АВС, поэтому вне проекций треугольника прямая l изображена видимой. Если при построении вспомогательной прямой α, горизонтально конкурирующей с данной прямой l окажется, что l //α (рисунок 36б), то это означает, что прямая l параллельна плоскости треугольника. Поскольку прямая l расположена выше прямой α (это видно на фронтальной проекции), значит она расположена и выше плоскости треугольника, поэтому на горизонтальной проекции (виде сверху) она видима полностью. Учитывая, что плоскость – нисходящая, прямая l, находящаяся выше нее одновременно находится и за плоскостью. А это значит, что на фронтальной проекции (виде спереди) прямая невидима. Если же при построении вспомогательной прямой α окажется, что прямые совпадают на обеих проекциях (рисунок 36в), то прямая l принадлежит плоскости. Отдельно рассмотрим случай определения взаимного расположения профильной прямой и плоскости. Пусть даны: профильная прямая р, заданная двумя точками M и N, и плоскость общего положения, заданная треугольником АВС (рисунок 37). Как и в общем случае, по- строим на плоскости треугольника вспомогательную прямую α, конкурирующую с заданной прямой р. Для определения прямой α на плоскости, выделим на сторонах треугольника АС и АВ точки 1 и 2. Ясно, что прямая α будет как и прямая р профильной прямой. По заданным горизонтальной и фронтальной проекциям определить взаимное расположение прямых р и α не представляется возможным. Построим профильные проекции (вид слева) двух этих прямых. Так как их профильные проекции пересекаются, то прямые р и α тоже пересекаются, и точка их пересечения К является точкой пересечения прямой р с плоскостью треугольника АВС. Видимость прямой р относительно плоскости можно определить непосредственно из пространственного представления. Так как прямая р – восходящая (проекции ориентированы одинаково), а плоскость – нисходящая (проекции различно ориентированы), то прямая р от точки К в сторону точки М находится над и за плоскостью треугольника. Поэтому на виде сверху (на горизонтальной проекции) прямая р видима от точки К в сторону точки М и невидима Рисунок 37 40 40 в сторону точки N. На виде спереди (на фронтальной проекции) прямая р, наоборот, видима от точки К в сторону точки N и невидима в сторону точки М. Если профильные проекции (вид слева) прямых р и α окажутся параллельными или совпадут, то прямые будут соответственно параллельны или совпадут, а это означает, что профильная прямая р соответственно параллельна плоскости треугольника или принадлежит ей.

13. Конкурирующие точки. Определите видимости на эпюре

Конкурирующие точки используются для определения видимости геометрических фигур на плоскости проекций. Где видимые объекты отображают сплошной основной линией, не видимые - тонкой пунктирной линией.

Конкурирующие точки - это точки, расположенные на одном проецирующем луче

Конкурирующие точки

 

 

Определение видимости в системе параллельного проецирования изображенной на рисунке, затруднительно, так как по одной проекции нельзя выделить наиболее удаленную от проекции точку.
Однако на эпюре Монжа в ортогональной системе плоскостей проекций данная задача легко решается.

 

Конкурирующие точки

Применительно к нашему чертежу конкурирующими будут точки: E,K и F принадлежащие фронтально проецирующей прямой. Видимой на фронтальной плоскости проекций будет точка наиболее удаленная от нее - это точка E. ЕЕ горизонтальная проекция E` наиболее удалена от оси x.
Конкурирующие точки обозначают на эпюре с помощью знака ≡, означающего совпадение указанных проекций, при этом проекции невидимых точек берут в круглые скобки.

 

 

14. Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Построение перпендикуляра к плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. При построении перпендикуляра из множества прямых принадлежащих плоскости, выбирают прямые уровня - горизонталь и фронталь. В этом случае горизонтальную проекцию перпендикуляра проводят перпендикулярно горизонтали, а фронтальную -перпендикулярно фронтали. На примере, изображенном на рисунке 29, показано построение перпендикуляра к плоскости, заданной треугольником АВС, из точки К. Для этого сначала проводим горизонталь и фронталь в плоскости. Затем из фронтальной проекции точки К проводим перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали, а из горизонтальной проекции точки – перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали. Затем строим точку пересечения данного перпендикуляра с плоскостью при помощи вспомогательной секущей плоскости Σ. Искомая точка – F. Таким образом, полученный отрезок КF является перпендикуляром к плоскости АВС.

Рисунок 29

 

На рисунке 29 изображено построение перпендикуляра КF к плоскости АВС.

15. Условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей. Привести примеры

 

 

 

 

 

 

 

16. Условие параллельности двух плоскостей

 

Параллельность плоскостей определяется на основании теоремы: если две пересе­каю­щиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны друг другу. Прямые, определяющие плоскость, могут быть общего и частного положения. Плоскости, задан­ные следами, взаимно парал­лельны в том случае, если два пересекающихся следа одной плоскости параллельны двум одно­имен­ным следам другой плоскости (рис. 39). Взаим­ное положение плоскостей общего положения определяют любые два следа. Параллельность профильно-прое­цирую­щих плос­костей определяют с помощью профильных следов. На рис. 40 показаны случаи, когда эти плоскости параллельны и пересекаются.

Рассмотрим два примера построения плоскости, параллель­ной данной.

Пример 1. Через точку А надо провести плоскость, парал­лельную плос­кос­ти, заданной треугольником BCD (рис. 41). Проведем через точку А прямые AM и AN, соответственно па­раллельные сторонам ВС и CD треугольника. Эти две пе­ресекающиеся в точке А прямые определяют искомую плоскость.

Пример 2. Через точку А надо провести плоскость Q, па­раллельную плос­кости Р, заданной следами Рн и Pv (рис. 42). Через точку А проводим гори­зон­таль искомой плоскости, параллельную горизонталям плоскости Р, и нахо­дим ее фрон­тальный след V1. Через фрон­тальную проекцию v1 / этого следа прово­дим Qv ॥ Pv и через точку Qx проводим QH ॥ PH.

 

16. Условие параллельности двух плоскостей:

Пусть P1:A1x+B1y+C1z+D1=0, N1=(A1,B1,C1);

P2:A2x+B2y+C2z+D2=0, N2=(A2,B2,C2).

Плоскости P1 и P2 параллельны тогда и только тогда, когда N1∥N2⇔A1A2=B1B2= C1C2.

 

17. Построение линии пересечения двух плоскостей.

Одной из основополагающих задач начертательной геометрии является задача на на построение линии пересечения двух плоскостей общего положения. Случаи задания плоскостей бывают разные, но в любом случае вам встретится задача, в которой будет необходимо построить линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками (или другими плоскими геометрическими фигурами). Алгоритм решения такой задачи я и предлагаю рассмотреть сейчас.

(Если же ваши плоскости заданы не треугольниками, а, например, параллельными прямыми, то приглашаю вас прочитать еще один урок, посвященный тому, как найти линию пересечения двух плоскостей.)

Итак, даны две плоскости, заданные треугольниками АВС и DEF. Метод сводится к тому, что бы поочередно найти две точки пересечения двух ребер одного треугольника с плоскостью другого. Соединив эти точки мы получим линию пересечения двух плоскостей. Построение точки пересечения прямой с плоскостью более подробно было рассмотрено в предыдущем уроке, напомню только механические действия:

- Заключим прямую АС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми DE и DF - точки 1 и 2
- На горизонтальной проекции соединим проекции точек 1 и 2 и найдем точку пересечения получившейся линии с горизонтальной проекцией той прямой, которую мы заключали во фронтально-проецирующую плоскость, в этом случае - с прямой AC. Мы получили точку M.
- Заключим прямую BС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми EF и DF - точки 3 и 4
Соединим их горизонтальные проекции и получим точку пересечения этой прямой с прямой ВС - точку N.
- Соединив точки M и N мы получим линию пересечения плоскостей заданных треугольниками. По сути линия пересечения уже найдена. - Осталось лишь определить видимость ребер треугольников. Это делается методом конкурирующих точек.