Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Справедливости ради следует заметить, что очень редко ДУ сразу дается в симметрической форме с разделенными переменными. Рассмотрим уравнения, которые можно привести к такому виду.

Пусть ДУ приведено к симметрической форме . В нем можно разделить переменные, если выражения и можно представить в виде произведения двух сомножителей, каждое из которых зависит или только от х или только от у, т.е.

, .

Новый вид уравнения .

Для разделения переменных нужно обе части уравнения поделить (или умножить) на те сомножители, которые «мешают».

Пример 17. Решить уравнение

Решение. Сначала преобразуем уравнение так, чтобы символы и присутствовали по одному разу:

Þ .

Теперь представим в виде произведений выражения перед и :

Разделим переменные:

Проинтегрируем: Þ Þ Þ

Þ

Полученное уравнение уже является общим решением дифференциального уравнения или иначе общим интегралом. В принципе можно считать уравнение решенным. Однако, решение очень громоздкое. Его можно упростить. Во всех дальнейших преобразованиях нам понадобится один искусственный прием переобозначения константы С. Как известно, константа С пробегает все значения от до и неважно каким способом. Поэтому зададим нужный нам способ изменения С. В данном конкретном примере выгодно заменить С на , где . В дальнейшем замену константы С на другой вид будем обозначать символом . Для преобразований используем свойства логарифмов.

Þ Þ .

Последнее уравнение является более компактной формой общего интеграла. На этом решение дифференциального уравнения можно закончить.

Ответ. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид

.

Замечание. В примере 2 не сказано конкретно, что нужно найти – общий интеграл или общее решение. Если общий интеграл, то пример 2 решен до конца. Если же подразумевалось общее решение, то тогда из уравнения нужно выразить у через х явно.

Þ .

Каждая из полученных функций является общим решением дифференциального уравнения.

Разберем, как решать уравнение с разделяющимися переменными, заданное не в симметрической форме, а в виде . Первое, что нужно сделать – это перейти к симметрической форме, заменив символ на
дробь . Покажем это на конкретном примере.

Пример 18. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Решение. Перейдем к симметрической форме, используя равенство :

Þ .

Разделим переменные:

Þ

Проинтегрируем полученное уравнение:

Þ Þ .

Последнее уравнение является общим интегралом дифференциального уравнения.

Ответ: Общий интеграл дифференциального уравнения .