Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Прежде всего, плоская фигура должна быть задана аналитически. Это значит, что должны быть заданы функции, графики которых являются границами области . Чтобы получить представление об области , нужно нарисовать графики заданных функций. Далее, нужно найти абсциссу самых левых точек области и абсциссу самых правых точек области. Тогда для любой точки верно неравенство . Значения этих абсцисс и станут нижним и верхним пределами интеграла. Далее нужно найти формулу верхней границы и формулу нижней границы . При этом на всем отрезке должно выполняться неравенство (верхняя и нижняя границы не должны пересекаться). После выполнения этих шагов фигура может быть записана системой двух неравенств

Тогда ее площадь вычисляется по формуле

.

Замечание. Не нужно разбивать область на части, лежащие выше и ниже оси ОХ. Берется один

интеграл от разности функций, задающих верхнюю и нижнюю границы.

Пример 15. Найти площадь плоской фигуры , ограниченной графиками
заданных функций: ; ; ; .

Решение. Прежде всего, следует нарисовать область .

y = - x2 - 1

x = 1

x = -1

Рис. 3

Запишем область системой двух неравенств, т.е.

Тогда площадь находится как определенный интеграл

Ответ: .

Date: 2016-02-19; view: 724; Нарушение авторских прав