Интегрирование с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции

Пусть требуется найти интеграл . Как правило, исходный вид функции не подходит ни под один табличный интеграл. Нужно попытаться с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и использования свойств интеграла привести искомый интеграл к сумме табличных интегралов.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция является дробью. В числителе есть разность и сумма функций. Поделим почленно числитель на знаменатель.

.

Ответ. .

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

Решение. В преобразованиях используем формулы тригонометрии.

.

Ответ. .

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

Решение. Перемножим скобки в подынтегральном выражении, чтобы избавиться от произведения.

Ответ.

Пример 4. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Нетрудно убедиться, что в таблице такого интеграла нет. Есть интеграл , т.е. от косинуса в первой степени. Поэтому полезно вспомнить две тригонометрические формулы понижения степени.

и .

Преобразуем искомый интеграл с помощью второй формулы.

Ответ.