Три медианы пересекаются в одной точке (её называют центром тяжести или центроидом треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. Длину медианы можно определить по формуле:
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (её называют ортоцентром треугольника)
Для любого треугольника справедливо соотношение:
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центр вписанной в треугольник окружности)
Длину биссектрисы можно определить по формуле:
Свойство биссектрисы:
A
B
Около всякого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а её радиус определяется по формулам:
C
A
Во всякий треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а её радиус вычисляется по формуле:
,
O
B
C
Для правильного треугольника со стороной
Площадь: , высота:
Радиус вписанной окружности: ,
Радиус описанной окружности: ,
r
R
Для прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой справедливы соотношения:
C
(теорема Пифагора),
B
A
5) Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а её радиус вычисляется по формуле:
6) радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
Для равнобедренного прямоугольного треугольника:
Произвольный четырёхугольник
1) Если окружность вписана в четырёхугольник со сторонами , то суммы длин противоположных сторон равны:
2) Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны :
3) Площадь любого четырёхугольника вычисляется по формулам:
, где - длины диагоналей, - угол между диагоналями.
, где - полупериметр, - радиус вписанной окружности
Параллелограмм
1) Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
2) площадь вычисляется по формулам:
Ромб
1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его
углов.
2) Площадь вычисляется по формулам:
Квадрат
O
1) 2)
Прямоугольник
1)
O
2) Около любого прямоугольника можно описать окружность,
Трапеция
, где - средняя линия. В равнобедренной трапеции
Средняя линия проекция диагонали на нижнее
С
В
основание, равна средней линии, MN = AH
В
С
D
А
H
Правильный шестиугольник
O
1) ,
2)
М
Окружность
Свойства касательных к окружности.
А
а) Радиус, проведённый в точку касания,
В
N
O
перпендикулярен касательной; б) Две касательные к окружности, проведённые из одной точки, равны,
j
O
а центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.
С
А
2j
j
j
2.Измерение углов, связанных с окружностью. а) Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается; б) Вписанный угол измеряется половиной дуги,
А
на которую он опирается;
В
2j
j
j
j
O
в) Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между касательной и хордой.
А
D
3. Метрические соотношения в окружности. а) Если две хорды пересекаются, то произведение
М
В
отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: АМ ВМ = СМ DМ
С
В
С
М
б) Если из точки Мк окружности проведены две секущие, то АМ ВМ = СМ DМ
С
М
в) Если из точки Мк окружности проведены
секущая и касательная, то АМ ВМ = СМ 2
А
В
4. Площадь круга: ,
Длина окружности: Площадь сектора: а)
б)
Длина дуги сектора: а)
б)
Некоторые свойства площадей:
а)Отношение площадей подобных фигур равно квадрату
коэффициента подобия:
б) Отношение площадей двух треугольников с одинаковыми
высотами равно отношению их оснований.
в) Биссектриса треугольника делит его площадь на части, пропорциональные сторонам, между которыми она проведена.
Геометрические тела
Площади поверхностей
Обозначения
Произвольная призма
- периметр перпендикулярного сечения,
- длина бокового ребра
Прямая призма
- периметр основания,
- длина бокового ребра
Правильная пирамида
- периметр основания,
- апофема (высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания)
- радиус основания сегмента
- радиус шара
- высота сегмента
Геометричес
кие тела
Объёмы
Обозначения
Произвольная призма
- площадь основания и высота призмы
- площадь перпендикулярного сечения и длина бокового ребра призмы
Прямая призма
- площадь основания и высота призмы
Пирамида
- площадь основания и высота пирамиды
Усечённая пирамида
- площади верхнего и нижнего-оснований,
-высота пирамиды.
Цилиндр
- радиус основания и высота цилиндра
Конус
-радиус основания и высота конуса.
Усечённый конус
-радиусы оснований,
- высота конуса
Шар
-радиус шара.
Сегмент
-радиус шара
- высота сегмента
Шаровой сектор
- радиус шара
- высота сегмента
1. Если все боковые рёбра пирамиды образуют с основанием или с высотой
пирамиды равные углы (или все боковые рёбра равны), то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
2. Если все боковые грани пирамиды образуют с высотой пирамиды равные углы или образуют с основанием равные углы (или высоты всех боковых граней равны), то высота пирамиды проходит через центр
mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.041 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию