Главная Случайная страница



Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Трапеция





Планиметрия

 

Произвольный треугольник 1. Теорема косинусов: 2. Теорема синусов:
B
3. Площадь определяется по формуле:

A

           
   
   
ha
 
 
 

 

 


           
   
 
   
С
 
 

 

 

Три медианы пересекаются в одной точке (её называют центром тяжести или центроидом треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. Длину медианы можно определить по формуле:
 
 

 

  Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (её называют ортоцентром треугольника) Для любого треугольника справедливо соотношение:      
  Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центр вписанной в треугольник окружности) Длину биссектрисы можно определить по формуле:   Свойство биссектрисы:
 
 

 

 


 

A

B
Около всякого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а её радиус определяется по формулам:

       
   
 
 



 

 


 
 
C

 


A

  Во всякий треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а её радиус вычисляется по формуле: ,      
O
B
C

Для правильного треугольника со стороной Площадь: , высота: Радиус вписанной окружности: , Радиус описанной окружности: ,
r
R








Для прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой справедливы соотношения:

C
(теорема Пифагора),

B
A

 

5) Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а её радиус вычисляется по формуле:

 
 

 

 


 

 

6) радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

Для равнобедренного прямоугольного треугольника:

 

 

Произвольный четырёхугольник 1) Если окружность вписана в четырёхугольник со сторонами , то суммы длин противоположных сторон равны:  

  2) Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны :       3) Площадь любого четырёхугольника вычисляется по формулам:
, где -
длины диагоналей, - угол между диагоналями.



, где - полупериметр, - радиус
вписанной окружности

 

 

 

Параллелограмм 1) Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: 2) площадь вычисляется по формулам:

Ромб 1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. 2) Площадь вычисляется по формулам:    

Квадрат

O
1)
2)

 

           
 
   
 
   
 

 

 


Прямоугольник

1)

O
2) Около любого прямоугольника
можно описать окружность,


Трапеция

 

, где - средняя линия. В равнобедренной трапеции

Средняя линия проекция диагонали на нижнее

С
В
основание, равна средней линии,
MN = AH

В
С
                   
 
   
 
   
D
   
А
     
H
 
 
 


Правильный шестиугольник

O
1) ,

2)

                       
 
 
   
   
   
   
 
 
 
 
   

М
Окружность

  1. Свойства касательных к окружности.

А
а) Радиус, проведённый в точку касания,

В
N
O
перпендикулярен касательной;
б) Две касательные к окружности,
проведённые из одной точки, равны,

j
O
а центр окружности лежит на биссектрисе
угла между ними.

С
А
2j j j
2. Измерение углов, связанных с окружностью.
а) Центральный угол измеряется дугой,
на которую он опирается;
б) Вписанный угол измеряется половиной дуги,

А
на которую он опирается;

В
2j j j
j
O

в) Угол между касательной и хордой равен половине
дуги, заключённой между касательной и хордой.

 

 

А
D
3. Метрические соотношения в окружности.
а) Если две хорды пересекаются, то произведение

М
В
отрезков одной хорды равно произведению отрезков
другой хорды: АМ ВМ = СМ

 

 
 
С


В


С
М
б) Если из точки Мк окружности проведены
две секущие, то АМ ВМ = СМ

 
 
С


М
в) Если из точки Мк окружности проведены

секущая и касательная, то АМ ВМ = СМ 2

       
 
А
 
   
В

 

4. Площадь круга: , Длина окружности: Площадь сектора: а) б) Длина дуги сектора: а) б)
Некоторые свойства площадей: а)Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:  
б) Отношение площадей двух треугольников с одинаковыми

высотами равно отношению их оснований.

 

 
 

 


       
   
 
 

 


в) Биссектриса треугольника делит его площадь на
части, пропорциональные сторонам, между которыми
она проведена.

 
 

 

 

 


Геометрические тела Площади поверхностей Обозначения
Произвольная призма - периметр перпендикулярного сечения, - длина бокового ребра
Прямая призма - периметр основания, - длина бокового ребра
Правильная пирамида - периметр основания, - апофема (высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания)
Правильная усечённая пирамида - периметры нижнего и верхнего оснований, - апофема (высота боковой грани)
Цилиндр - радиус основания и высота цилиндра
Конус - радиус основания и образующая конуса.
Усечённый конус - радиусы оснований, -длина образующей конуса
Шар - радиус шара.
Сегмент - радиус основания сегмента - радиус шара - высота сегмента

 

Геометричес кие тела Объёмы Обозначения
Произвольная призма   - площадь основания и высота призмы - площадь перпендикулярного сечения и длина бокового ребра призмы
Прямая призма - площадь основания и высота призмы
Пирамида - площадь основания и высота пирамиды
Усечённая пирамида - площади верхнего и нижнего-оснований, -высота пирамиды.
Цилиндр - радиус основания и высота цилиндра
Конус -радиус основания и высота конуса.
Усечённый конус -радиусы оснований, - высота конуса
Шар -радиус шара.
Сегмент -радиус шара - высота сегмента
Шаровой сектор - радиус шара - высота сегмента

 

1. Если все боковые рёбра пирамиды образуют с основанием или с высотой

пирамиды равные углы (или все боковые рёбра равны), то высота
пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

 

2. Если все боковые грани пирамиды образуют с высотой пирамиды равные
углы или образуют с основанием равные углы (или высоты всех
боковых граней равны), то высота пирамиды проходит через центр

окружности, вписанной в основание, и .

 

 








Date: 2015-04-23; view: 285; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2021 year. (0.04 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию