Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Уравнение Шредингера. Электрон в потенциальной яме
Основной характеристикой состояния атомов, молекул, элементарных частиц является y -функция. Аналитическое выражение y -функции в каждом конкретном случае можно получить путем решения волнового уравнения – основного уравнения квантовой механики, предложенного Э. Шредингерам в 1920 г. Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера имеет вид: . (4.1) где т – масса частицы; Е и U – ее полная и потенциальная энергии. Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например, вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шрёдингера упрощается и принимает вид: (4.2) Одним из наиболее простых примеров использования уравнения Шрёдингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме. Пусть электрон перемещается вдоль оси ОХ только в пределах 0< х<l (рис. 4.1). Это означает, что в указанном интервале y -функция отлична от нуля, а вне интервала (х < 0, х ³ l) равна нулю. Так как на частицу в выделенном интервале силовые поля не действуют, то ее потенциальная энергия может иметь любое постоянное значение (наиболее удобно принять U =0). Вне этого интервала электрона нет, поэтому следует считать его потенциальную энергию бесконечно большой. На рис. 4.1 показана графическая зависимость U = f(x). Интервал 0< х<l, удовлетворяющий сформулированным выше условиям, называют одномерной прямоугольной потенциальной ямой с бесконечно высокими стенками. С учетом U =0 уравнение Шрёдингера (4.2) для интервала 0 <х<l имеет вид: . (4.3) Введем обозначение: , (4.4) тогда: (4.5) Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонического колебания, решение которого: , (4.6) где –амплитуда волновой функции, –ее начальная фаза. Чтобы найти две постоянные и , а также возможные значения или Е, рассмотрим граничные условия: 1) при х = 0 y = 0. Подставляя эти значения в (4.10), получаем Физический смысл здесь имеет только одно значение: = 0, откуда . 2) при х =l y = 0. C учетом из (4.10) имеем: Физический смысл здесь имеет только одно значение: , или , откуда , (4.7) где п – целое число, оно принимает значения 1, 2, 3,...; п ≠ 0, так как в противном случае y = 0 при любом х, что означает отсутствие электрона в потенциальной яме. Число n называют квантовым числом. Из (4.4) находим энергию , что с учетом (4.7) дает: . (4.8) Индекс n при Е показывает, что различным значениям квантового числа n соответствует и разная энергия. Подставляя w (4.7) в (4.5) и учитывая , получаем . (4.9) Из (4.8) следует, что решение уравнения Шредингера для электрона в потенциальной яме без каких-либо дополнительных постулатов приводит к дискретным, квантованным значениям энергии: ; и т.д. Возведя (4.9) в квадрат, получим плотность вероятности нахождения электрона в разных точках потенциальной ямы. На рис.4.2. показана графическая зависимость от х при разных дискретных состояниях, то есть разных квантовых числах. Как видно из рисунка, электрон может с разной с разной вероятностью находиться в разных местах потенциальной ямы. Есть такие точки, в которых вероятность нахождения электрона вообще равна нулю. Это существенно отличается от представлений классической физики, согласно которым равновероятно нахождение частицы в разных местах потенциальной ямы
|