Примеры решения задач. Задача1. Определить границы спектральной области, в которой лежат линии серии Бальмера

Задача1. Определить границы спектральной области, в которой лежат линии серии Бальмера.

Решение. Длины волн линий, принадлежащих серии Бальмера, определяются по формуле Бальмера: ,

где n=3,4,... Тогда границы серии найдем при n₁=3 и n₂®¥.

1/l₁=R(1/2²-1/3²)=5R/36; l₁=36/5R.

1/l₂=R(1/2²-1/¥²)=R/4; l₂=R/4

l₁=36/(5.1,09.10⁷)=6,6.10^-7(м); l₂=4/1,09.10⁷=3,67.10^-7(м).

Ответ: l₁=6,6.10^-7м; l₂=3,67.10^-7м.

Задача 2. Определить, во сколько раз увеличится радиус орбиты электрона у атома водорода, находящегося в основном состоянии, при возбуждении его квантом с энергией 12,09 эВ.

Дано: E₁=13,6 эВ; DЕ=e=12,09 эВ

Найти: r_n/r₁₌ ?

Решение. По теории Бора радиусы круговых орбит, соответствующие различным квантовым состояниям, зависят от главного квантового числа n: r_n=n²h² / 4p²ke²m. Поэтому при переходе атома из основного состояния (n=1) в возбужденное состояние с квантовым числом n радиус орбиты электрона возрастает в n² раз. Отсюда следует, что необходимо определить главное квантовое число, соответствующее возбужденному состоянию атома.

По второму постулату Бора: DЕ=e=DЕ=Е₁-Е_n. Отсюда Е_n=Е₁-DЕ,

а Е_n=Е₁/n²; n²= Е₁/Е_n. n²=13,6/1,51=9

Тогда r_n/r₁= n²=9. Ответ: r_n/r₁ =9.

Задача 3. Вычислить первый потенциал возбуждения водорода.

Дано: Е₁=13,6 эВ=21,76.10^-19Дж

Найти: j –?

Решение. Согласно постулатам Бора, возбуждение атома водорода - это переход его из основного состояния с энергией Е₁ в состояние с энергией Е_n. Для этого потребуется энергия hn =DЕ= Е₁ – Е_n. По условию задачи данную энергию получим за счет электрического поля, то есть DЕ=е j, где е - заряд электрона. Первый потенциал соответствует переходу электрона с первой стационарной орбиты на вторую или переход атома из состояния с энергией Е₁ в состояние с энергией Е₂. е j=Е₁–Е₂. Так как Е₂=Е₁/n²= Е₁/4, то е j=Е₁– Е₁/4=3Е₁/4. j= 3Е₁/4 е.

Ответ: j=10,2 В.

Задача 4. Атомарный водород освещается ультрафиолетовым излучением с длиной волны 1,03.10^-7 м. Определите, какие спектральные линии появятся в спектре водорода.

Дано: l= 1,03.10^-7м; Е₁=13,6 эВ=21,76.10^-19Дж.

Найти: l_i =?

Решение. Согласно второму постулату Бора атом водорода, поглощая квант света с энергией e=hn=hc/l, перейдет из основного состояния с энергией Е₁ в возбужденное состояние с энергией Е_n. Определим энергию Е_n и соответствующее этой энергии главное квантовое число n.

hn=hc/l=Е₁-Е_n; Е_n=Е₁-hc/l.

Е_n=21,76.10^-19-6,63.10^-34.3.10⁸/1,03.10^-7=2,54.10^-19(Дж)=1,5(эВ).

Т.к. Е_n=Е₁/n²; то n²= Е₁/Е_n=13,6/1,51=9, и n=3. Атом водорода перешел в возбужденное состояние с энергией Е₃ (главное квантовое число n=3). Здесь возможны переходы: Е₃®Е₁, Е₃ ®Е₂, Е₂®Е₁. По второму постулату Бора hc/l=Е₁-Е_n, следовательно:

1) hc/l₁=Е₃-Е₁; l₁=hc/(Е₃-Е₁);

2) hc/l₂=Е₃-Е₂; l₂=hc/(Е₃-Е₂);

3) hc/l₃=Е₂-Е₁; l₃=hc/(Е₂-Е₁).

Но E₁=-13,6 эВ, E₂=-13,6/4=-3,4 эВ, E₃=-13,6 / 9=-1,5 эВ.

l₁=6,63.10^-34.3.10⁸/(-1,5+13,6).1,6.10^-19=1,027.10^-7(м);

l₂=6,63.10^-34.3.10⁸/(-1,5+3,4).1,6.10^-19=6,542.10^-7(м);

l₃=6,63.10^-34.3.10⁸/(-3,4+13,6).1,6.10^-19=1,218.10^-7(м).

Линии с длиной волны l₁ и l₃ соответствуют серии Лаймана (ультрафиолетовая область), а линия с длиной волны l₂ - серии Бальмера (красная линия в видимой области спектра).

Задача 5. Квант света с энергией 15 эВ выбивает электрон из атома водорода, находящегося в нормальном состоянии. С какой скоростью будет двигаться электрон вдали от ядра?

Дано: e=15 эВ,E₁=-13,6 эВ

Найти: v=?

Решение. Для выбивания электрона из атома водорода требуется энергия DЕ=Е₁-Е_¥ (энергия ионизации), где Е_¥=0. По закону сохранения энергии - энергия кванта света идет на ионизацию атома и на сообщение электрону кинетической энергии Е_к=mu²/2: e=DЕ+mu²/2. Отсюда:

u=(2(e-E₁)/m)^1/2.

u=(2(15-13,6).1,6.10^-19)/9,1.10^-31)^1/2=7.10⁵ (м/с). Ответ: u=7.10⁵ м/с.