В результате получаем общее решение системы

.

Одно базисное решение получаем при , т.е. или .

Чтобы получить другое базисное решение, достаточно задать , тогда или .

Пример 6. Даны векторы , , , в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Для того, чтобы три вектора могли образовывать базис пространства , необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы. Это значит, определитель, столбцами которого являются координаты векторов системы, должен быть отличен от нуля.

Вычислим определитель системы.

.

Вывод: векторы , , линейно независимы и образуют базис в .

Разложение вектора по базису , , в векторной форме имеет вид:

,

где х₁, х₂, х₃ – искомые координаты вектора в данном базисе.

В координатной форме это разложение имеет вид:

или

В левой и правой частях полученного равенства стоят два вектора. Они равны и поэтому равны их одноименные координаты. Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Систему решаем по формулам Крамера. Для этого, кроме определителя , вычисляем полученные из определителя заменой соответствующих столбцов столбцом свободных членов системы.

Координаты вектора определяются по формулам:

; ; .

Таким образом, разложение вектора по базису , , имеет вид: или (2; 0; 4).

Проверка. Подставим в правую часть полученного разложения координаты векторов , , :

= 2 (2; 4; 1)+ 4 (5; 3; 1;)=(4; 8; 2)+(20; 12; 4)=(24; 20; 6)= .

Получили координаты вектора . Значит, разложение вектора по базису , , найдено верно.

Пример 7. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(10;6;6), B(−2;8;2), C(6;8;9), D(7;10;3).

Найти:

1) Длину ребра АВ;

2) Угол между ребрами АВ и АD;

3) Уравнение прямой АВ;

4) Уравнение плоскости АВС;

5) Угол между ребром АD и гранью АВС;

6) Площадь грани АВС;

7) Объем пирамиды;

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Сделать чертеж.

Решение:

1) Если ребро АВ обозначить за вектор , то длина ребра − это длина вектора. Находим координаты вектора :

=(− 2−10; 8−6; 2−6)=(− 12; 2;− 4).

Если =(х; у: z), то его длина .

Следовательно,

.

2) Угол между ребрами АВ и АD – это угол между векторами и . Находим координаты вектора .

=(7−10; 10−6;3−6)=(−3;4;−3).

Из пункта 1) нам известны координаты вектора =(− 12; 2;− 4). Угол между двумя векторами находится по формуле:

.

Если векторы и имеют координаты =(х₁; у₁: z₁), (х₂; у₂: z₂) соответственно, то эта формула перепишется в виде:

.

Следовательно, получаем

Итак, .

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁;у₁;z₁) и М₂(х₂;у₂;z₂) имеет вид:

или равносильное ему уравнение:

,

где =(l,m,n) – координаты направляющего вектора прямой М₁М₂.

Направляющий вектор прямой – это вектор, параллельный прямой. В нашем случае прямая проходит через точки А(10;6;6) и В(−2;8;2). Следовательно, уравнение прямой АВ:

.

Итак, каноническое уравнение прямой АВ:

где направляющий вектор

4) Уравнение плоскости по трем точкам находится по формуле:

, (*)

где А(х₁;у₁;z₁); В (х₂;у₂;z₂); С(х₃;у₃;z₃) – точки, через которые проходит плоскость. Подставляя координаты точек А, В, С в формулу (*), получим:

.

Считаем определитель, разложив его по первой строке.

D=а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃,

где − алгебраические дополнения элементов , а М_{i j} – минор элемента . Минором элемента матрицы называется определитель, получаемый (вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых он расположен) из данного. Следовательно,

.

Итак, уравнение плоскости АВС:

.

5) Требуется найти угол между ребром АD и гранью АВС. Это равносильно нахождению угла между прямой АD и плоскостью АВС. Угол между прямой и плоскостью Ах+Ву+Сz+D=0 определяется по формуле:

,

где − координаты нормального вектора плоскости АВС.

− координаты направляющего вектора прямой АD.

Находим уравнение прямой АD по двум точкам:

.

Следовательно,

АD: , .

Т.к. уравнение плоскости АВС: , то ее нормальный вектор .

Значит,

.

.

6) Площадь грани АВС – это площадь треугольника АВС. Если треугольник построен на векторах и , то его площадь считается по формуле:

.

Из пункта 1) имеем =(− 12; 2;− 4).Находим координаты вектора .

=(6−10;8−6;9−6)=(−4;2;3).

Далее необходимо найти векторное произведение .Составляем определитель и вычисляем его, раскладывая по первой строке.

находим длину полученного вектора:

.

Следовательно,

.

7) Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Координаты этих векторов найдены ранее: , , .

Следовательно, .

8) Грань АВС имеет нормальный вектор . Для того, чтобы составить уравнение высоты, надо знать направляющий вектор той прямой, где лежит высота. Т.к. DH^ABC (DH −высота), то ( −параллелен прямой DH, а − перпендикулярен АВС). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой DH можно взять нормальный вектор плоскости АВС. Т.е. . Уравнение высоты имеет вид:

.

Итак, получили уравнение высоты DH:

.

Пример 8. Даны вершины треугольника А(1;−1), В(−2;−6), С(−6;3). Требуется: 1) вычислить длину высоты и медианы, проведенной из вершины В; написать их уравнения; 2) написать уравнения прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС; 3) найти угол между прямыми АВ и АС; 4) найти точку В₁ симметричную точке В относительно прямой АС.

Решение:

1.а) Составим уравнение медианы, проведенной из вершины В. Пусть М – середина АС. Найдем её координаты:

.

Уравнение прямой по двум точкам находится по формуле:

.

BМ: Þ Þ .

Приведем это уравнение к общему виду прямой.

−14(х +2) = у +6 Þ −1 4х − 28 = у +6 Þ ВМ: 14х+у+34=0.

(Общий вид прямой А х + В у+С=0).

Длину медианы ВМ вычисляем по формуле: .

Тогда

1.б) Составим уравнение стороны АС – основания высоты ВН по известным двум точкам

АС: Þ Þ .

Приведем это уравнение к общему виду прямой.

4(х −1) = −7(у +1) Þ 4х − 4 = −7 у −7 Þ АС: 4х+7у+3=0.

Угловой коэффициент этой прямой . Две прямые перпендикулярны, если: . Т. к. АС ^ ВН, то .

Составим уравнение высоты ВН, зная, ее угловой коэффициент и точку В.

.

Þ 4 (у+6)=7(х+2) Þ 4 у+24=7х+14.

ВН: 7х−4у−10=0.

 

Вычислим длину высоты ВН, как расстояние от точки В до прямой АС, по формуле . Тогда получим

2) Известно, что если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты совпадают. Следовательно, т. к BL|| AC,то .

Составляем уравнение прямой BL, зная ее угловой коэффициент и точку B(−2;−6), через которую проходит эта прямая, т. е.

.

Þ7 у+42=−4х−8 Þ BL: 4х+7у+50=0.

3) Найдем угол между прямыми АВ и АС. Составим уравнение прямой АВ по известным двум точкам

Þ . 5(х +2) = 3(у +6) Þ 5 х+10 = 3 у +18 Þ АВ: 5х−3у−8=0.

Угловой коэффициент АВ: . Знаем, что .

Воспользуемся формулой

.

Для данного случая

.

4) Из п.1.б) известны уравнения стороны АС: 4х+7у+3=0 и высоты ВН: 7х−4у−10=0. Найдем точку их пересечения:

.

− точка пересечения стороны АС и высоты ВН. Эта же точка является серединой отрезка ВВ₁. Зная формулы координат середины отрезка

,

выведем формулы

Для данного случая получаем: Окончательно имеем: .

Пример 9. Линия, заданная уравнением r=r(j) в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от j=0 до j=2p и придавая j значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;

3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия:

.

Решение:

1) Рассмотрим первый способ построения кривой. Придавая углу значения через промежуток , вычисляем соответствующие значения, радиуса r и записываем в виде таблицы, найденные полярные координаты точек.

j	0								p
r	0,25	0,26	0,29	0,36	0,5	0,81	1,71	6,57	¥
j								2p
r	6,57	1,71	0,81	0,5	0,36	0,29	0,26	0,25

 

По найденным точкам строим кривую в полярной системе координат (см. рис.1.)

 

 

 

Рис.1.

 

2) Перейдем к прямоугольным координатам, используя формулы:

и .

Подставляя выражение для r и соsj в заданное уравнение

,

получаем:

.

Выполняем преобразования, чтобы освободиться от знаменателя.

;

, ;

.

Перенося 2х в правую часть и возводя в квадрат обе части равенства, имеем:

.

Преобразуя, получаем уравнение кривой в каноническом виде.

− парабола.

3) Полученное уравнение определяет параболу, ось симметрии которой ось абсцисс, а вершина находится в точке , ветви направлены влево.

Данные результаты соответствуют результатам, полученным ранее (см. рис.1.).

Пример 10. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Решение:

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l² − 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = 7; l₂ = 1;

Для корня l₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t − параметр.

 

Для корня l₂ = 1:

Из системы получается зависимость: x₁ + x₂ = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; −t) где t − параметр.

 

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

 

Пример 11. Дано комплексное число z. Требуется:

1. записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

2. найти все корни уравнения .

.

Решение:

1) Комплексное число z в алгебраической форме имеет вид: z=а+bi;

в тригонометрической форме: z=r(cosj+i×sinj), где и .

Для того чтобы записать в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т. е. на 1− i.

.

− алгебраическая форма.

, , ,

.

− тригонометрическая форма.

2) Þ .

Так как число в тригонометрической форме

Þ

.

Применяя формулу для извлечения корня из комплексного числа:

,

получаем

Если k=0, то ;

Если k=1, то ;

Если k=2, то .

Следовательно, корни уравнения в алгебраической форме имеет вид

Ответ:

,

,

.

Пример 12. Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x₁¢¢, x₂¢¢, x₃¢¢ через x₁, x₂, x₃.

Решение:

Первое преобразование определяется матрицей A, а второе − матрицей B, где

Искомое преобразование является произведением данных преобразований с матрицей

 

Перемножив матрицы B и A, получим матрицу

Следовательно, искомое преобразование таково:

Пример13. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.:

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовый выпуск
Энергетика	Машиностроение
Производство	Энергетика
Машиностроение

Вычислим необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а в отрасли машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение.

Математическая модель, позволяющая анализировать связь между отраслями, разработана американским экономистом В. Леонтьевым.

Далее введём обозначения: вектор валового объёма продукции; вектор конечного продукта (для непроизводственного потребления); A − матрица прямых затрат (.Коэффициенты вычисляют по формуле и они показывают затраты продукции − й отрасли на производство единицы продукции − й отрасли. Здесь − объём продукции − й отрасли, потребляемой − й отраслью в процессе производства.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска , который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта .

Математически решение данной задачи в матричном виде можно

представить таким образом: .

Имеем

Коэффициенты прямых затрат:

Матрица прямых затрат:

Она является неотрицательной и удовлетворяет критерию продуктивности:

.

Поэтому для любого вектора конечного продукта можно найти необходимый объем валового выпуска по формуле .

Определим матрицу полных затрат

Так как , то

По условию вектор конечного продукта:

Тогда по формуле получаем вектор валового выпуска:

,

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179 усл.ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл.ед.

 

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебно−методическое пособие / В.Г. Шершнев. − М.: НИЦ Инфра−М, 2012. − 168 с.: [Электронный учебник: http://znanium.com]

2. Шевцов, Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты [Текст]: учеб.пособие / Г.С. Шевцов.— 2−е изд., испр. и доп.— М.: Магистр: ИНФРА−М, 2011.— 528 с.— ГРИФ.

3. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учеб.пособие / В.С. Шипачев.— 7−е изд., стер.— М.: Высшая школа, 2007.— 304 с.— ГРИФ.

4. Cборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие / под ред. В.И. Ермакова.— М.: ИНФРА−М, 2002, 2003, 2004.— 575 с.

5. Виленкин, И.В. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно−научных специальностей вузов: Учеб.пособие / И.В. Виленкин, В.М. Гробер.— 3−е изд., испр. — Ростов−на−Дону: Феникс, 2005.— 414

6. Власов, В.Г. Конспект лекций по высшей математике [Текст] / В.Г. Власов.— М.: АЙРИС, 1996.— 288 с.

7. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский.— Изд.14−е.— М.: Джангар, Большая медведица, 2001.— 864с.

8. Высшая математика: Учебное пособие / Ю.М.Данилов,Л.Н.Журбенко,Г.А.Никонова,В.В.Кондратьев.— Казань: КХТИ, 1993.— 94с.

9. Высшая математика [Текст]: методические указания и контрольные задания.— Казань, 1993.— 36 с.

10. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 / П.Е. Данко [и др.].— 6−е изд. — М.: "Оникс": "Мир и Образование", 2007.— 304с.

11. Высшая математика для экономистов: учеб.пособие / под ред. Н.Ш. Кремера.— М.: Банки и биржи: ЮНИТИ, 1997.— 439 с.— ГРИФ.

12. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие / А.Н. Колесников.— М.: ИНФРА−М, 1997,2003.— 208с.

13. Контрольные задания по высшей математике на 2−й семестр: Для студентов первого курса экономического факультета.— Нижнекамск, 1998.— 6с.

14. Костромин, А.В. Методические указания по выполнению контрольной работы по математике: для студентов заочного отделения экономического факультета / А.В. Костромин.— Казань: "Таглимат" ИЭУиП, 2000.— 33 с.

15. Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учебник / М.С. Красс.— М.: ИНФРА−М, 1998.— 464с.

16. Кремер, Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб.пособие: Гриф МО РФ / Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин, Б.А. Путко и др.; Под ред. Н.Ш. Кремера.— М.: ЮНИТИ−ДАНА, 2005.— 423с.

17. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие; Гриф МО РФ / Л. Н. Журбенко и [и др.].— М.: ИНФРА−М, 2009.— 373с.

18. Математика для экономического бакалавриата: Учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. − М.: ИНФРА−М, 2011. − 472 с. [Электронный учебник: http://znanium.com/bookread.php?book=221082]

19. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник; Под ред. В.И. Ермакова. − М.: ИНФРА−М, 2010. − 656 с. [Электронный учебник: http://znanium.com/]

20. Справочник по математике для экономистов/Под ред.В.И.Ермакова.— Изд.2−е, переработ. и доп., илл. — М.: Высшая школа, 1997.— 384с.

21. Шершнев В. Г. Линейная алгебра. Часть I. Основы линейной алгебры: Учебно−методическое пособие для студентов I курса. − М.: Издательство «Менеджер», 2007. – 128 с.: [Электронный учебник: http://znanium.com/bookread.php?book=347840]

1. Шипачев, В.С. Высшая математика: Учебник для вузов: Гриф / В.С. Шипачев.— 9−е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2008.— 479с.