Соотношения неопределённостей

При прохождении электрона через щель ситуация существенным образом меняется. Неопределённость координаты х становится равной

ширине щели ∆х, но при этом появляется неопределённость проекции импульса ∆ р_х, обусловленная дифракцией электронов на щели.

Согласно теории дифракции .

Принимая, что ∆ р_х ~ p_x, получаем

.

Более строгий вывод даёт следующий результат

Это соотношение называется соотношением неопределённостей Гейзенберга.

Для других координатных осей:

и .

В то же время не существует никаких принципиальных ограничений на точность определения координаты и проекции импульса на другую координатную ось, например, ∆х и ∆р_у.

Соотношение Гейзенберга задаёт теоретический предел точности измерения характеристик микрочастицы, но никак не связано с погрешностью измерений конкретных измерительных приборов.

На практике для оценочных расчётах часто используют соотношение

∆х^.∆р_х

С помощью соотношения неопределённостей можно получать важные физические результаты, а также проводить численные оценки, не прибегая к точному но трудоёмкому решению задачи.

Рассмотрим для примера атом водорода и будем считать, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r со скоростью v

Будем считать, что ∆х = r, a ∆p = p = m_ev. Тогда rm_ev и

м

Следовательно, радиус орбиты электрона, т.е. радиус атома не может быть меньше найденного значения. В свою очередь это означает, что электрон не может упасть на ядро, т.е. атом является устойчивым образованием.

 

Кроме координат и проекций импульса существуют другие пары физических величин, которые не могут быть измерены одновременно точно. Особо следует выделить соотношение, которое называется соотношением неопределённостей для энергии и времени

 

 

Система, имеющая среднее время жизни ∆t, не может быть охарактеризована определённым значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением времени жизни системы и частота излучения также должна иметь неопределённость , т.е. спектральные линии должны иметь конечную ширину (уширение).

 

Следствия из соотношений неопределённостей:

 

1) Первым следствием из соотношения неопределённостей является отсутствие траектории у микрочастиц ( для частиц с высокой энергией и ∆х 10^{-6 м} неопределённость импульса ∆р_х = ~ 10^{-28 кг.}м/с,что значительно меньше значения самого импульса р. Это означает, что для этих частиц λ _Б оказывается очень малой и для описания поведения таких частиц должна применяться классическая механика и можно говорить о траектории частицы).

2) Отсутствие состояния покоя. Если ∆х = а, то ∆р_х . Полагая р_{х мин} ∆р_{х мин} находим минимальную (не равную нулю) энергию микрочастицы

,

т.е. в квантовой механике микрочастица не может находится в состоянии полного покоя.

3) Теряет смысл деление полной энергии частицы на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия зависит от импульса частицы, а потенциальная энергия от её координаты. Но координата и импульс не могут одновременно иметь определённые значения. Равенство Е = К + U для мгновенных значений невозможно (в квантовой механике принято потенциальную энергию обозначать буквой U). Такое равенство справедливо лишь для средних значений энергии

<E> = <K> + <U>.