Представляющее многообразие

Каждый акт воли устанавливает отношение, и воля, следовательно, имеет особую связь с триадой. Это наводит на мысль, что математический символизм не может быть полон, поскольку он ограничен двучленными комбинациями. Хотя первичными компонентами математики являются элементы (terms) и операции, ее цель достигается только когда они представлены в правильном отношении.

Например, равенство:

S = 2 πR

связывает в правильном отношении оператор π с двумя элементами S и R, представляющими длину окружности и радиус круга на евклидовой плоскости. Утверждение состоит в приравнивании, отрицание – в несоизмеримости этих элементов, и согласование – в универсальном рекуррентном операторе π.

Выражение любой связи между двумя элементами требует отнесения, независимого от самых элементов и операций над ними, иначе мы не имели бы возможности что-либо сказать о делаемом. Эта независимая система отнесения не обязательно должна быть эксплицитной, но если она служит не только для потребностей отдельного случая, она должна каким-то образом соответствовать законам воли. При установлении схемы естественной философии, следовательно, первой является задача выработки средств представления, которые должны иметь, насколько это возможно, универсальную действенность и универсальное значение. Нет другого пути избежать функционального описания, имеющего силу только ad hoc.

Остановимся, чтобы обсудить, что мы имеем в виду под "средствами представления". Предположим, я хочу указать положение нескольких предметов в комнате, где я сижу. Напротив меня, немного выше моей головы, находятся часы на каминной полке; справа от меня в десяти футах у стены стоит стол; под моим стулом лежит на полу ковер. Таким образом, я могу называть и указывать положение какого угодно числа предметов. Действительно, процедура эта настолько знакома, и кажется настолько простой, что мы не замечаем, например, что слова "напротив", "выше", "справа", "ниже" имеют одно и то же значение и для нас, и для тех, кто будет следить за нашим описанием, и в то же время мы знаем, что если бы я повернулся на стуле лицом к окну, то же самое описание потребовало бы перестановки слов. Если бы, однако, я взял за начало отсчета не себя, а камин, слова "перед", "выше", "справа" и "слева" имели бы одно и то же значение, в каком бы положении я ни сидел. Таким образом, мы видим, что на практике мы всегда можем найти и представить фиксированную систему отсчета или систему координат для описания положений. Точно также слова "вчера" и "завтра" меняют свое значение при переходе от одного дня к другому, но "до или после 11-го ноября" означает сегодня то же самое, что означало вчера, и что будет означать завтра.

Средство описания места и времени событий называется представляющим многообразием. [2] Опыт учит нас, что такая схема не ограничивается только описанием, но сообщает нам также что-то о возможном и невозможном. Возможно, что "до" перейдет в "после", пока я спокойно сижу на своем стуле; но невозможно, чтобы "перед" превратилось в "позади" до тех пор, пока я не повернулся. Для меня возможно изменить "здесь" на "там" и "там" снова на "здесь" движением моего тела, но невозможно изменить "сейчас" на тогда" или "тогда" на "сейчас" каким-либо известным мне способом. Точно также геометрия дает мне различную информацию о том, что я могу и чего не могу делать с линейками и кусками веревок; и таким же образом кинематика сообщает мне, какие наблюдения возможно и какие невозможно делать с часами и движущимися телами. Эти рассуждения дают нам возможность различать описание и представление. Теперь мы можем определить слово "представление" как обозначающее акт, посредством которого мы указываем отношение функции к воле в данной ситуации. Поскольку сейчас мы занимаемся только волей, проявляющейся в форме порядка, мы можем дать более точное определение представления как акта воли, соотносящего поведение с системой координат. Представление, таким образом, рассматривается как особая форма языка, которая пригодна для математической обработки. Оно использует символизм для сохранения общности законов системы координат, но допускает приложение к частным случаям, если только может быть установлен уровень существования.