Математика

Поскольку ограничение беспорядка системой координат есть чистое действие воли, мы не можем ни знать ее, ни сознавать, но все же она может быть понята. Мы никогда не обнаруживаем в реальности пространство, время, вечность или гипарксис; мы находим только события, управляемые этими детерминирующими условиями. Если мы пытаемся трактовать детерминирующие условия как объекты знания, мы фальсифицируем их и вводим себя в заблуждение из-за ошибки неуместной конкретности. Например, все дискуссии о природе времени бессмысленны, поскольку время как таковое не имеет ни природы, ни свойств. Мы можем, однако, знать факты, и те регулярности, которые мы открываем как общие для всех фактов, могут быть выражены как законы.

Наше возможное понимание детерминирующих условий весьма отлично от нашего возможного знания факта. Первое возникает из опыта бесчисленных поколений, но мы можем описать в функциональном языке эти условия не лучше, чем рыба могла бы описать воду. Нам необходимо, следовательно, использовать специальный язык, который должен, насколько это возможно, быть свободным от относительности бытия и разнообразия функции, и который выражает только абстрактные действия воли. Язык, обладающий этим свойством абстрактности – это математика.

Часто отмечалось, что существует своеобразное и тонкое соответствие между математическими операциями – которые кажутся чисто концептуальными и субъективными – и процессами во вселенной – которые выступают как объективные и несводимые к концептуальным формам. Это тем более примечательно, что анализ математическими средствами не может распутать даже самый простой случай, возникающий в нашем опыте. Язык математики имеет мало ценности, или совсем ее не имеет, при описании факта, и, тем не менее, мы обнаруживаем в нем замечательную способность связывания и объединения субъективного опыта и объективной реальности.

Этот парадокс может быть разрешен, только если мы поймем, что математические символы означают не функциональные действия, но акты воли. Символ δ∫dS используется при определении пути, проходимого каким-либо телом при консервативном движении в силовом поле, но он не говорит нам, чем является тело или движение, и не описывает какое-либо событие. Рассмотрение таких символов должно убедить нас, что математика занимается единственно разделением возможных и невозможных действий и процессов. Связь не всегда является самоочевидной, но она всегда может быть раскрыта, если мы стремимся понять значение символа или операции безотносительно к какому-либо специфическому факту. Сила математического символизма заключается именно в том, что он дает возможность описывать различные по функциональному характеру действия при помощи одного и того же символа. Более того, математические утверждения всегда имеют дело с возможностью или невозможностью оказий, безотносительно к вопросу о том, была ли или будет ли какая-либо частная оказия актуализирована. С давних времен на человека производило глубокое впечатление соответствие между математическими операциями, которые являются чисто ментальными и очевидно находятся под контролем нашего сознания, и физическими событиями, которые находятся вне нашего ума и не зависят от нашей воли. Математичность объективного мира есть данность, с которой мы должны считаться. Это не означает, что каждая функциональная проблема поддается математической обработке. Напротив, в том и заключается огромная трудность, что лишь малое число весьма специализированных оказий может быть адекватно выражено в математической символике. Тем не менее, мы остаемся убежденными в том, что математика может дать нам проникновение в физический мир, которого мы не можем получить при помощи только чувственного опыта. Более того, мы твердо верим, что за всей сложностью и "нематематичностью" нашего непосредственного опыта находится упорядоченная совокупность частиц и силовых полей, подчиняющаяся строгим математическим законам. Блуждая свободно и случайно в пустых ассоциациях, наши мысли остаются неразрывно связанными с физическими процессами в нашем мозгу, которые, как мы верим, могут быть выражены в терминах символизма математической физики. Необходимо подчеркнуть – и даже особо подчеркнуть – парадокс универсальной применимости математического символизма и нематематичности чувственного опыта, для того чтобы уяснить себе важность различения между математическими символами как языком воли и вербальными описаниями как языком функции.

Помня, что язык воли характеризуется использованием жестов, каждый из которых имеет уникальное значение в данный момент, мы можем предполагать, что математика имеет качество жеста. Так дело и обстоит. Каждый математический символ соотнесен с некоторым жестом. Например, тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс – привлекают наше внимание как к универсальным отношениям в прямоугольных треугольниках, так и к свойствам бесконечных рядов. Было бы трудно или даже невозможно выразить посредством слов или знаков все, что математик узнает в символе π. Она замещает число, которое само по себе уникально, но оно далеко от того, чтобы быть "просто" числом, так как оно выражает все наши представления о кругообразности и повторяемости, делая это с силой жеста, который был столь же полон значения для строителей пирамид, как он значим для современного математика или инженер. Мы, таким образом, привыкли обращаться с π скорее как с оператором, чем как с числом, но часто забываем про это, когда стремимся определить его значение.

Уравнение:

d²ψ / ds² + k²ψ = 0

дает нам формы всех возможных вибраций, то есть событий, в которых возмущающая и восстанавливающая силы находятся в ритмическом равновесии. Это уравнение применимо в бесконечном множестве случаев, и их функциональное содержание не имеет ничего общего с действенностью уравнения. Математик понимает его значение без интерпретации в терминах функции или бытия. В этом заключается особый характер математического символизма, а именно то, что он является языком чистой воли, а не воли, на которую накладывается полное выражение функции и бытия, как в случае "практического языка".[1] Следовательно, математика в истинном смысле – это язык системы координат, и он является полностью действенным только для угла пирамиды опыта, отмеченного на диаграмме 13.1 буквой W.

В строгом смысле слова математика не может быть "знаема" и недооценка этого является причиной многих трудностей, с которыми сталкиваются в математических исследованиях. Математика никак не касается качественного содержания опыта. Она может описывать, что возможно и что невозможно в ситуации данного типа, но ничего не может сообщить о том, что в этой ситуации "следует" и чего "не следует" делать. Точно также она может сказать нам не что представляют собой вещи, и не в какие оказии они входят, а только – для вещей, являющихся тем, что они есть – возможна ли данная ситуация. Исходя их этого, математика может рассматриваться как характеристический язык естественного порядка.