Задача № 41

Определите возможные результаты измерений квадрата модуля момента импульса для частицы, находящейся в состоянии, описываемой волновой функцией , где - полярный угол, - азимутальный угол, - некоторая нормировочная постоянная.

Решение:

Если в некотором состоянии некоторая физическая величина принимает точно определённые значения, то такие значения называются собственными значениями этой физической величины, а пси-функции, которые описывают такие собственные состояния, являются решениями операторного уравнения:

(1)

где - оператор некоторой физической величины , а в правой части уравнения - собственное значение этой физической величины. В нашем случае необходимо найти собственные значения квадрата модуля момента импульса, поэтому уравнение (1) в данном случае имеет вид:

(2)

где - оператор квадрата модуля момента импульса, который в сферических координатах имеет вид:

(3)

Подставим в операторное уравнение (2) вид оператора и пси-функцию и после преобразований получим:

(4)

Таким образом, собственное значение квадрата момента импульса в данном состоянии равняется .

Ответ:

.