Задача № 37

Считая, что радиоактивный -распад происходит за счёт туннелирования -частицы через потенциальный барьер, получите закон радиоактивного -распада, определяющий зависимость числа нераспавшихся ядер от времени распада . Скорость -частицы в материнском ядре равна , радиус ядра - , коэффициент прозрачности потенциального барьера - , число нераспавшихся ядер в начальный момент времени - .

Решение:

Вид потенциального барьера, который преодолевает -частица при радиоактивном -распаде представлен на рисунке 1:

Рисунок 1

На расстояниях порядка ядерного ядра действуют ядерное силы, конкретный вид которых до конца не известен, поэтому будем предполагать, что на интервале график потенциальной энергии имеет вид потенциальной ямы. Как увидим далее, это предположение на решение не влияет. На расстояниях больше порядка ядерные силы уже не действуют, но действую кулоновские силы притяжения -частицы и ядра:

, где .

Предположим, что радиоактивный -распад происходит за счёт туннелирования -частицы через потенциальный барьер из области ядра. Если коэффициент прозрачности потенциального барьера равен , значит, из нераспавшихся ядер в некоторый момент времени за время распадётся ядер. Время определяет время, которое необходимо -частицы, чтобы покинуть материнское ядро. Оно равно:

(1)

Возьмём достаточно малый промежуток времени , за который число нераспавшихся ядер можно считать постоянным. Тогда за время происходит тактов деления, при этом число нераспавшихся ядер уменьшается на:

(2)

Знак минус показывает уменьшение числа нераспавшихся ядер. Приведём выражение (2) к виду, удобному для интегрирования:

(3)

Проинтегрировав обе части, получим:

(4)

где - некоторая постоянная, которую определим, используя начальные условия:

(5)

Таким образом, мы пришли к закону радиоактивного распада:

(6)

Как известно, закон радиоактивного распада имеет вид:

(7)

В нашем случае, предполагая, что радиактивный -распад происходит за счёт туннелирования -частицы через потенциальный барьер, для постоянной распада мы получили следующее выражение:

(8)

Ответ:

.