Задача №1.7

Температуры на поверхности шамотной стенки, толщина которой δ=200мм, равны: t_с1=1000ºС и t_с2=200ºС. Коэффициент теплопроводности шамота изменяется в зависимости от температуры по уравнению:

λ=0,813+0,000582t

Показать, что плотность теплового потока q, Вт/м², в случае линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры может быть вычислена по формуле для постоянного коэффициента теплопроводности, взятого при средней температуре стенки.

Найти ошибку в определении температуры в точках х=57,5;110 и 157,5 мм, если вычисления производятся по значению коэффициента теплопроводности, среднему для заданного интервала температур и построить график распределения температуры в стенке.

Дано: δ = 200 мм; λ =0,813+0,000582∙t Вт/(м∙ ºС); t с1 = 1000 °C; t с2 = 200 °C; х= 0; 57,5; 110; 157,5 мм Найти: рассчитать плотность теплового потока, ; найти ошибку в определении температуры в точках x.

Решение

1. Согласно закону Фурье для плоской стенки, плотность теплового потока вычисляется:

где - температура внутренней и внешней поверхности стенки, ˚С; -толщина стенки, м; - коэффициент теплопроводности, который численно равен плотности теплового потока при температурном градиенте равном 1, Вт/(м∙ ºС).

В нашем случае коэффициент теплопроводности зависит от температуры и принимается при средней температуре стенки равной и равняется:

Тогда плотность теплового потока:

2. Определим ошибку в определении температуры в точках x.

2.1 Случай линейной зависимости коэффициента теплопроводности ()

Согласно закону Фурье для плоской стенки, плотность теплового потока вычисляется:

Для нашего случая, чтобы определить температуру t_x в точке х:

Выражая t_x из верхнего уравнения получаем:

Тогда,

- В точке х =57,5 мм

- В точке х =110 мм

- В точке х =157,5 мм

- В точке х =200 мм

2.2 Случай нелинейной зависимости коэффициента теплопроводности ()

Для данного случая температурное поле в плоской стенке определяется согласно уравнению 1.1 [1]:

где b – коэффициент для нелинейной зависимости коэф. теплопроводности; t_c1 – температура внутренней поверхности стенки, ˚С; q – плотность теплового потока, рассчитана ранее, Вт/м²; x -точка в которой определяется температура стенки, м; - коэффициент теплопроводности при 25 ˚С, Вт/(м∙ ºС).

Преобразуем исходную зависимость коэффициента теплопроводности к виду

, значит

Получаем:

- В точке х =57,5 мм

- В точке х =110 мм

- В точке х =157,5 мм

- В точке х =200 мм

Сведем полученные результаты в п.2.1-2.2 в таблицу 1.

х, мм	tx, С	Погрешность,%
57,5			3,75
			6,67
157,5			7,5

Ответ: 4648 Вт/м²; погрешность от 0 до 7,5 %