Некоторые логические функции и реализующие их логические элементы. Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое сложение (дизъюнкция). Логическая функция у является логической суммой (дизъюнкцией) переменных У = f (Х₁, Х₂,..., Х_n), если она равна 1 в тех наборах, на которых хотя бы одна независимая переменная равна 1, и равна 0 в остальных набо­рах. Пример функции У, являющейся логической суммой двух переменных Х₁ и Х₂, приведен в таблице 3.2.

Логическое сложение двух переменных принято обозначать следующим образом: У = Х₁ Ú Х₂, а логическое сложение n переменных

У = Х ₁Ú Х₂ Ú …Ú Х_n (3.2)

Таблица 3.2 – Таблица истинности Таблица 3.3 – Таблица истинности

элемента ИЛИ элемента И

Схема, с помощью которой из входных переменных Х₁, Х₂,..., Х_n образуется их логическая сумма, называется логическим эле­ментом ИЛИ. УГО этого элемента при двух входных переменных в соответствии с рисунком 3.l.

Логическое умножение (конъюнкция). Логическая функция у является логическим произведением (конъюнкцией) переменных Х₁, Х₂,..., Х_n. Она равна 1 только в тех наборах, на которых все переменные одновременно равны 1. Пример функции Y, явля­ющейся логическим произведением двух переменных Х₁ и Х₂, при­веден в таблице 3.3.

Логическое умножение двух переменных будем обозначать так же, как обозначают обычное алгебраическое умножение У = Х1 L Х2. Для n переменных можно записать

Y=Х₁ L Х₂ L…L Х_n (3.3)

Схема, с помощью которой из входных переменных Х₁, Х₂,..., Х_n образуется их логическое произведение У, называется логиче­ским элементом И. УГО этого элемента при двух входных переменных изображается в соответствии с рисунком 3.1.

Логическое отрицание (инверсия). Логическая функция У яв­ляется логическим отрицанием переменной Х. Ее значение противоположно значению переменной Х, т.е. если Х =0, то У= 1 и наоборот. Логическое отрицание принято обозначать . Элемент, с помо­щью которого реализуется логическое отрицание, называется логи­ческим элементом НЕ. УГО этого элемента изображается в соответствии с рисунком 3.1.

При построении современных цифровых устройств нашли ши­рокое применение некоторые логические функции, являющиеся простыми комбинациями рассмотренных.

Логическое сложение с отрицанием (стрелка Пирса). Логиче­ская функция у является логической суммой с отрицанием незави­симых переменных Х1, Х2,..., Хn, если она равна 0 на тех наборах, на которых хотя бы одна переменная равна 1. Пример указанной функции при двух переменных приведен в таблице 3.5.

Таблица 3.5 – Таблица истинности Таблица 3.6 – Таблица истинности

элемента ИЛИ-НЕ элемента И-НЕ

Логическое сложение с отрицанием обозначается . Иногда в литературе пользуются обозначением У=Х₁+Х₂. В дальнейшем будем использовать первое обозначение. Для функции n переменных можно записать:

(3.4)

Элемент, реализующий функцию «логическое сложение с отрица­нием», называется логическим элементом ИЛИ-НЕ (элементом Пирса). УГО элемента при двух переменных в соответствии с рисунком 3.1.

Логическое умножение с отрицанием (штрих Шеффера). Ло­гическая функция У является логическим произведением с отрицанием независимых переменных Х₁, Х₂,..., Х_n, если она равна 1 толь­ко на тех наборах, на которых хотя бы одна переменная равна 0. Пример функции У, являющейся логическим произведением с от­рицанием двух переменных, приведен в таблице 3.6.

Логическое умножение с отрицанием для двух переменных будем обозначать . Иногда в литературе встречается обозна­чение . Для реализации функции «логическое умножение с отрицани­ем» используется логический элемент, называемый элементом И-НЕ (элементом Шеффера). Его УГО изображается в соответствии с рисунком 3.1.