Дифракция Френеля от круглого отверстия

Рис. 2

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника монохроматического света S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием, диаметр которого d=BC. Пусть Ф - фронт волны, который является частью поверхности сферы. Разобьем поверхность фронта на зоны Френеля (см. рис.2) так, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения М в противофазе. Тогда амплитуда результирующей волны в точке М

А=А1-А2+А3-А4+-Аm, (1)

где Аi - амплитуда волны, пришедшей от i-ой зоны Френеля. Перед Аm берется знак плюс, если m - нечетное, и минус, если m - четное.

Величина Аi зависит от площади si i-той зоны и угла ai между внешней нормалью к поверхности зоны в какой-либо точке и прямой, направленной из этой точки в точку М (см. рис.2, где в частности показан угол α3).

Можно показать, что все зоны Френеля примерно равновелики по площади. Увеличение же угла ai с ростом номера зоны приводит к уменьшению амплитуды Аi. Она уменьшается с ростом i также и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Таким образом, А1>А2>->Am. При большом числе зон можно приближенно считать, что Аi=(Ai-1+Ai+1)/2. (2)

Перепишем теперь в виде

так как согласно (2) все выражения, стоящие в скобках, равны нулю.

Можно показать, что общее число m зон Френеля, обращенное к точке М,

где d=BC - диаметр отверстия, R=SO, L=OM (см. рис.2), λ - длина волны.

Если d=1 см, R=L=10 см и λ =500 нм, то m=1000.

В этом случае Аm<<A1 и слагаемым Аm/2 в (3) можно пренебречь. Тогда согласно (3)

А=А1/2. (5)

Таким образом, амплитуда результирующей волны в точке М определяется как бы действием только половины центральной зоны Френеля. Ее диаметр d, как следует из (4) при m=1, R=L=10 см и λ =500 нм, равен 0,32 мм.

Следовательно, распространение света от S к М происходит так, будто пучок света распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т.е. прямолинейно.

В этом случае круговое пятно диаметром ED (см. рис.2) равномерно освещено и вне его наблюдается тень. Следовательно, дифракционная картина отсутствует, когда диаметр отверстия BC=d>> λ.

При уменьшении диаметра отверстия до величины d1мм число зон уменьшается и Аm становится сравнимым с А1, и поэтому пренебречь слагаемым Аm/2 нельзя.

При нечетном числе зон А=А1/2 +Аm/2 и в точке М наблюдается максимум (светлое пятно).

При четном числе зон А=А1/2 -Аm/2 и в точке М будет наблюдаться минимум (темное пятно). Этот факт особенно наглядно противоречит закону прямолинейного распространения света.

Очевидно, что максимум и минимум будут тем сильнее отличаться друг от друга, чем ближе значение Аm к А1, т.е. когда число зон m мало (m 10). Расчет амплитуды в других точках экрана более сложен. Можно показать, что дифракционная картина вблизи точки М имеет вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке М. По мере удаления от точки М интенсивность максимумов света убывает.

Если на пути световой волны в плоскости отверстия поставить зонную пластинку, которая перекрывала бы все четные зоны, то А=А1+А3+А5+- и интенсивность I=A2 в точке М резко возрастает. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные зоны, а изменяя фазу их колебаний на p, тогда А=А1+А2+А3+-Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой, и использование ее позволяет получить дополнительное увеличение интенсивности в 4 раза.

Опыт подтверждает эти выводы: зонная пластинка увеличивает интенсивность в точке М, действуя подобно собирающей линзе.

Date: 2015-05-08; view: 783; Нарушение авторских прав