Основные теоретические положения. Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны от щели

Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны от щели. Щелью будем называть прямоугольное отверстие, ширина которого во много раз меньше его длины. Обозначим ширину щели а (рис. 1).

Световая волна длиной l падает нормально к плоскости щели. За щелью установлена собирательная линза L, в фокальной плоскости которой находится экран Э. Параллельный пучок лучей, пройдя через щель, дифрагирует под разными углами вправо и влево от первоначального направления. Линза собирает параллельные пучки дифрагированных лучей в соответствующих точках экрана Э. Тип дифракции, при котором рассматривается дифракционная картина, образованная параллельными лучами, получил название дифракции в параллельных лучах, или дифракции Фраунгофера.

В случае прямоугольного отверстия дифракционная картина будет описываться формулой

где a, b – размеры отверстия,

a, b – угловая координата точки в дифракционной картине,

, ,

где x, y – координаты в плоскости экрана, на котором наблюдается дифракционная картина,

L – расстояние от плоскости отверстия, на котором дифрагирует световая волна, до экрана, на котором наблюдается дифракционная картина,

, E – полная энергия, падающая на отверстие,

D = 4 ab – площадь отверстия.

Расчет дает формулу распределения интенсивности света на экране Э в зависимости от угла дифракции в виде

2, ~"

sm

1<р = I О

ПО. ₂

(—sin <р) л,

где Ь - интенсивность света в середине дифракционной картины (в направлении ф=0); I - интенсивность света в точке, положение которой определяется данным значением угла ф. При значении угла дифракции ф, удовлетворяющего условию

---- sin<p=k/l,, asinp^kA, (2)

Я

где К=±1, 2, 3,..., интенсивность света равна нулю. Последнее условие и количественные соотношения можно получить при решении задачи о дифракции на щели методом графического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на ряд узких параллельных полосок равной ширины. Каждую из этих полосок можно рассматривать как источник волн одинаковой амплитуды и фазы. Выражая амплитуды каждой полоски векторами равной длины, найдем результирующую амплитуду, пользуясь графическим методом сложения амплитуд. Результаты при разных углах дифракции ф представлены на рис.2. При ф=0 (рис.2,а), т.е. в фокусе линзы L, амплитуда колебаний А₀ будет максимальной. В направлении, при котором крайние

полоски отличаются по фазе на я (А=—), результирующая (рис.2,6), так как последняя равна диаметру полуокружности, длина

которой aq. В направлении, при котором крайние полоски отличаются по фазе на 2я (Д=А), результирующая амплитуда обращается в нуль (рис.2,в). Амплитуда равна нулю во всех случаях, когда разность хода между крайними лучами А равна А,, 2А, ЗА,..., kA, т.е.

Я 2Я минимумы освещенности соответствуют направлениям sin <p = —, -..., где k-целое число,

a a

так как Л = a sin (p.

Распределение освещенности в фокальной плоскости линзы L представлено на рис.3. Центральная светлая полоса (максимум нулевого порядка) занимает область между ближайшими правыми и левыми минимумами, т.е. область

между sin <р =- и sin#> = —. Интенсивность света 1₀

а а

определяется квадратом А₀. Следующие максимумы значительно уступают по величине центральному.

амплитуда колебаний

Действительно, при

2 А о 3

можно нати и интенсивности остальных максимумов.

показывают, что интенсивности центрального и следующих максимумов относятся как

1:0,045:0,016 и т.д.

Рассмотрим дифракцию от двух параллельных щелей одинаковой ширины а и расположенных на расстоянии b друг от друга. Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости линзы L. (рис.4, а). На экран со щелями падает плоская монохроматическая волна длиной А. Положение дифракционных максимумов и—ТЯйнимумов от одной щели не зависит от ее положения, а определяется направлением дифрагированных лучей. Это значит, что перемещение щели параллельно самой себе не приводит к изменению дифракционной картины. Следовательно, картины, создаваемые каждой щелью в отдельности будут совершенно одинаковыми.

Результирующую картину можно определить путем сложения этих двух картин о учетом интерференции волн, идущих от каждой из щелей. Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей света не

дает, н£ будет света и при двух параллельных щелях. Условие

минимума интенсивности a sin <p= kA, где к=±1, 2, 3,..., выполняется и в данном случае.

Кроме того, возможны направления, в которых колебания, посылаемые двумя щелями,

взаимно уничтожаются. Возникают добавочные минимумы. Они будут наблюдаться в тех

1,3. 2т +1.

направлениях, которым соответствует разность хода — Я, — Я,..., - Я для волн,

идущих от соответственных точек (отстоящих на расстоянии а+b) обеих щелей. Такие

Я направления определяются (см.рис.4) условием Д(а +b)sin (р=(2т +1)—, где т=±0, 1, 2,

3,.... В направлениях, определяемых из условий (a +b)sin <р = 0, A, 2A,...тА, где т=±0, 1, 2,

Действие одной щели усиливает действие другой. Этим направлениям соответствуют максимумы интенсивности. Расстояния между первичными минимумами (от одной щели) зависит от ширины щели а. Если а «(а +Ь), то между двумя первичными минимумами может

расположиться несколько минимумов и максимумов. Кривая на рис.4,6 показывает распределение интенсивностей света при дифракции на двух параллельных щелях.

Если ширина щели а значительно меньше расстояния от щели до экрана, дифракция Фраунгофера будет иметь место и при отсутствии линзы между щелью и экраном (падающая на щель волна должна быть плоской). В этом случае лучи, идущие в точку Р от краев щели, будут практически параллельны, так что все полученные ранее результаты остаются справедливыми.

Измерив на опыте по дифракционной картине от узкой щели ширину центрального максимума и зная длину волны источника света, можно определить ширину щели. По картине дифракции от двух параллельных узких щелей, зная длину волны источника и ширину каждой щели, можно определить расстояние между ними.

• Одномерная дифракция Фраунгофера на вертикальной щели по мере ее расширения слева направо.

• Нулевой максимум наиболее яркий и вдвое шире побочных максимумов.

• Размер области дифракционного расплывания обратно пропорционален ширине щели.