Тема 8. Проверка статистических гипотез

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода, осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется проверкой статистических гипотез.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н₀.

По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н₁.

Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы Н₀.

Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой, например: "среднедушевой совокупный доход населения России составляет 650 рублей в месяц"; "уровень безработицы (доля безработных в численности экономически активного населения) в России равна 9%". В других случаях гипотеза называется сложной.

В качестве нулевой гипотезы Н₀ принято выдвигать простую гипотезу, т.к. обычно бывает удобнее проверять более строгое утверждение.

По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов[6]:

- гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;

- гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности[7];

- гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;

- гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками и др.

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т.е. ограниченного ряда наблюдений, решения относительно нулевой гипотезы Н₀ имеют вероятностный характер. Другими словами, такое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.

Так, в какой-то небольшой доле случаев α нулевая гипотеза Н₀ может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой первого рода. А ее вероятность принято называть уровнем значимости и обозначать α.

Наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β нулевая гипотеза Н₀ принимается, в то время как на самом деле в генеральной совокупности она ошибочна, а справедлива альтернативная гипотеза Н₁. Такую ошибку называют ошибкой второго рода. Вероятность ошибки второго рода принято обозначать β. Вероятность 1 - β называют мощностью критерия.

При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок α или β. Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой. Принято задавать вероятность ошибки первого рода α - уровень значимости. Как правило, пользуются некоторыми стандартными значениями уровня значимости α: 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Тогда, очевидно, из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью α отклонить правильную в действительности гипотезу Н₀, следует принять тот, который сопровождается меньшей ошибкой второго рода β, т.е. большей мощностью. Снижения вероятностей обеих ошибок α и β можно добиться путем увеличения объема выборки.

Правильное решение относительно нулевой гипотезы Н₀ также может быть двух видов:

- будет принята нулевая гипотеза Н₀, тогда как и на самом деле в генеральной совокупности верна нулевая гипотеза Н₀ ; вероятность такого решения 1 - α;

- нулевая гипотеза Н₀ будет отклонена в пользу альтернативной Н_1, тогда как и на самом деле в генеральной совокупности нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу альтернативной Н₁; вероятность такого решения 1 - β - мощность критерия.

Результаты решения относительно нулевой гипотезы можно проиллюстрировать с помощью таблицы 8.1.

Таблица 8.1

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющего функцией от результатов наблюдения.