Интервальное оценивание

Мы уже знаем, что . Если представляет собой предел, которым ограничена сверху абсолютная величина , то . Следовательно,

(7.4)

Мы получили интервальную оценку генеральной средней. Из теоремы Чебышева следует, что

. (7.5)

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. Для его определения вычисляется предельная ошибка выборки , позволяющая установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью (надёжностью) должен находиться параметр генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности. Если мы выберем коэффициент таким, что высказывание в 95% случаев окажется правильным и только в 5% - неправильным, то мы говорим: со статистической надежностью в 95% доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной совокупности. Статистической надежности в 95% соответствует доверительная вероятность - 0,95. В 5% случаев утверждение "параметр принадлежит доверительному интервалу" будет неверным. То есть 5% задает уровень значимости () или 0,05 вероятность ошибки. Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтобы он не превысил 5% ( < 0,05). Доверительная вероятность и уровень значимости дополняют друг друга до 1 (или 100%) и определяют надежность статистического высказывания.

С помощью доверительного интервала можно оценить не только генеральную среднюю, но и другие неизвестные параметры генеральной совокупности.

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней ) [5] нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности (на практике - при большом объеме выборки, т.е. при n ³ 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.5.2) примет вид:

(7.6)

где t определяется по таблицам функции Лапласа из соотношения

2F₀(t) = g;

- среднее квадратическое отклонение;

n - объем выборки (число обследованных единиц).

D определяется по формуле:

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней ) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности (при большом объеме выборки, т.е. при n 30) и собственно-случайном бесповторном отборе формула (7.6) примет вид:

(7.7)

D определяется по формуле:

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности (на практике - при малом объеме выборки, т.е. при n < 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.6) примет вид:

(7.8)

где t определяется по таблицам Стьюдента

по уровню значимости a = 1 - g

и числу степеней свободы k = n - 1;

s - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение;

n - объем выборки.

D определяется по формуле:

Для оценки математического ожидания а (генеральной средней) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении s генеральной совокупности (при малом объеме выборки, т.е. при n < 30) и собственно-случайном бесповторном отборе формула (7.8) примет вид:

(7.9)

D определяется по формуле:

Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле при большом объеме выборки, т.е. при n 30) и собственно-случайном повторном отборе формула (7.5) примет вид:

(7.10)

где t определяется по таблицам функции Лапласа из соотношения

2F₀(t) = g;

w - выборочная доля;

n - объем выборки (число обследованных единиц).

D определяется по формуле:

Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле при большом объеме выборки, т.е. при n 30 и собственно-случайном бесповторном отборе формула (7.10) примет вид:

(7.11)

D определяется по формуле:

Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле при малом объеме выборки, т.е. при n < 30 и собственно-случайном повторном отборе формула (7.10) примет вид:

(7.12)

где t определяется по таблицам Стьюдента

по уровню значимости a = 1 - g

и числу степеней свободы k = n - 1.

D определяется по формуле:

Для оценки генеральной доли р нормально распределенного количественного признака по выборочной доле при малом объеме выборки, т.е. при n < 30 и собственно-случайном бесповторном отборе формула (7.12) примет вид:

(7.13)

D определяется по формуле: