Внутреннее трение

рис. 1

Расстояние между пластинками h. Нижнюю пластинку будем удерживать неподвижно, верхнюю заставим двигаться в одном и том же направлении в своей плоскости с постоянной скоростью u₀.

Слой газа, непосредственно прилегающий к верхней пластинке, будет иметь ту же скорость u₀, что и пластинка, слой же газа, прилегающий к нижней пластинке, находится в покое. Как показывает опыт, любой промежуточный слой движется со скоростью u, пропорциональной расстоянию x от неподвижной пластинки, т. е.

(3.3.1)

Постоянная a определяется из условия, что при x = h u = u₀, т. е. u₀ = ah. Откуда a = u₀/h. Тогда выражение (3.3.1) примет вид

(3.3.2)

Таким образом, к верхней пластинке приложена сила F₁, лежащая в ее плоскости и имеющая то же направление, что и направление движения пластинки. Так как пластинка движется с постоянной скоростью u₀, то на пластинку должна действовать такая же по величине, но противоположно направленная сила F со стороны газа, которую назовем силой вязкого трения.

Из опыта следует, что абсолютная величина силы F₁ пропорциональна скорости u₀, с которой мы двигаем пластинку, и площади пластины, т. е.

(3.3.3)

где – постоянный коэффициент пропорциональности, который называют коэффициентом вязкого трения. Учитывая, что сила вязкого трения , равенство (3.3.3) перепишем в виде

(3.3.4)

Так как из (3.3.2) следует, что , то последнее выражение можно представить так:

(3.3.5)

Это закон внутреннего вязкого трения Ньютона, который установил его экспериментально. Закон утверждает: при стационарном (ламинарном) движении слоев жидкости или газа с различными скоростями между ними возникают касательные силы, пропорциональные градиенту скорости слоев и площади их соприкосновения. Физический смысл коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен силе, действующей на единицу площади поверхности, параллельной скорости течения газа или жидкости, при градиенте скорости .

Согласно второму закону Ньютона, , где K – импульс элементарной массы слоя газа. Поэтому (3.3.5) можно представить в виде бесконечно малых:

(3.3.6)

Пусть изменение скорости движения газа или жидкости происходит в направлении оси X, а сама скорость течения направлена перпендикулярно этой оси (рис. 2).

рис. 2

Тогда закон Ньютона (3.3.6) утверждает: импульс, переносимый за время dt через площадку dS, перпендикулярной оси X, пропорционален времени dt, величине площадки dS и градиенту скорости . Знак “минус” означает, что импульс переносится в направлении уменьшения скорости слоя.

С молекулярно-кинетической точки зрения причиной внутреннего трения является наложение упорядоченного движения слоев газа с различными гидродинамическими скоростями u и хаотического теплового движения молекул. В результате теплового движения, молекулы из более быстрого слоя переносят с собой больший упорядоченный импульс и, сталкиваясь, передают его молекулам более медленно движущегося слоя, вследствие чего он увеличивает скорость. Наоборот, при переходе молекул из медленно движущегося слоя в более быстрый слой, они приносят в него меньший упорядоченный импульс, что приводит к уменьшению упорядоченной скорости этого слоя. Увеличение или уменьшение гидродинамической скорости слоя газа, согласно второму закону динамики, свидетельствует о наличии силы внутреннего трения, действующей между слоями. Следовательно, за счет теплового хаотического движения скорости слоев будут выравниваться, если, конечно, внешними силами не поддерживать разности скоростей слоев.

Таким образом, с точки зрения молекулярно-кинетической теории в процесс внутреннего трения каждая молекула переносит упорядоченный импульс , вызывая тем самым изменение импульса слоя. Подставляя в общее уравнение переноса (4.4.7) и , получим:

(3.3.7)

Сравнивая последнее соотношение с (3.3.6), получим формулу для коэффициента вязкости газов:

(3.3.8)

Из формулы (3.3.8) видно, что коэффициент вязкости газов, как и коэффициент теплопроводности, не зависит от давления. Опыт подтверждает этот вывод. Отклонения наблюдаются при очень низких и очень высоких давлениях, когда начинает зависеть от давления. Зависимость от температуры такая же, как для коэффициента теплопроводности.

Наиболее точные методы измерения коэффициента вязкости основаны на формуле Пуазейля:

(3.3.9)

где V – объем газа, протекшего за время t через капилляр радиуса r и длины l при разности давлений на его концах. Измерив в опыте все указанные величины, из формулы Пуазейля находят коэффициент вязкости .