Учет упругого сопротивления

Рассмотренные перемещения при постоянной граничной силе определены в предположении, что сопротивление продольному перемещению формируется только за счет сил упругих и неупру­гих связей труб с грунтом. Это в идеальных условиях. Они мо­гут иметь место только в двух случаях: конец трубы загружен и в трубопроводе имеются внутреннее давление и температур­ный перепад; к концу полубесконечного трубопровода прило­жена сосредоточенная сила. Во всех остальных случаях условно-граничное сечение труб испытывает сопротивление продольному перемещению, которое тем больше, чем выше продольная жест­кость рассматриваемого участка.

Продольной жесткостью трубопровода (коэффициент упру­гого отпора) будем называть упругую характеристику, устанав­ливающую связь между перемещением конца полубесконечного трубопровода и самим перемещением:

где η (χ) — коэффициент продольной жесткости участка трубо­провода в окрестностях рассматриваемого сечения χ; Ν, и — со­ответственно продольная сила и продольное перемещение в том же сечении.

Как видно из формулы (7.32), при и(х)~+0 η->-οο, при и(х)->оо η->-0. Примером продольной жесткости η->-οο может быть прямолинейный трубопровод условно-бесконечной длины при продольной силе меньше критической, т. е. вызывающей потерю устойчивости труб. В этом случае перемещение любого сечения труб теоретически равно нулю. Примером η-^οο явля­ется случай полубесконечного трубопровода со свободным кон­цом, так как перемещение свободного конца труб ничем не ог­раничено. Промежуточные между предельными значениями продольной жесткости являются все другие значения η, опреде­ляемые в каждом конкретном состоянии. Например, линейная зависимость Λ^Γ=η«₀, нелинейная зависимость N = f(i\, u₀ⁿ), где и₀ — граничное перемещение; η — показатель степени. Сопро­тивление продольному перемещению конца полубесконечного трубопровода учитывается в граничной продольной силе, кото­рая принимается в виде Р=(Р₀— г\и₀^п). Так как th β /ι-И, фор­мула (7.29) с учетом продольной жесткости будет иметь вид

при линейной зависимости для η; при нелинейной квадратичной зависимости

при нелинейной степени зависимости

Влияние ползучести грунта на продольные перемещения трубопровода.

Рассмотренные выше перемещения трубопроводов условно мо­жно назвать мгновенными, т. е. достигающими расчетного зна­чения сразу же после приложения продольной силы. Переме­щения трубопроводов в грунтах имеют, как правило, неустано­вившийся характер даже при постоянной сдвигающей нагрузке. Явление изменяющихся во времени деформаций грунта при по­стоянных напряжениях в механике грунтов называют ползу­честью. Опыт показывает, что перемещения трубопровода при длительном воздействии нагрузки оказываются значительно большими, чем при воздействии мгновенных нагрузок. Это про­исходит вследствие проявления ползучих свойств грунта. В ме­ханике грунтов рассматривается ряд различных моделей пол­зучести. Каждая из них отличается принятием каких-либо допущений, условно описывающих характеристики ползучести. Поскольку нас интересует только ползучесть грунта при про­дольном перемещении, то опишем только те модели, которые могут быть использованы при расчете продольных перемо­щений.

Модель вязкого трения определяет касательные напряжения

где т]_д — динамическая вязкость грунта; е — относительная де­формация. Модель далека от описания реальных свойств пол­зучести, и использование ее в расчетах, хотя и дает простое ре­шение, но приводит к большой погрешности, поскольку урав­нение (7.36) описывает незатухающую ползучесть, имеющую постоянную скорость.

Модель Кельвина (применительно к продольным перемещениям)

Как видно из уравнения (7.37), при t-^σο деформация до­стигает своего наибольшего значения и стабилизируется на ве­личине e = r/nD_Hk_u.

Модель наследственной теории ползучести позволяет найти деформации ползучести от нагрузки, приложенной в момент времени с учетом касательных напряжений в грунте, существо­вавших до приложения данной нагрузки. Уравнение деформаций грунта с учетом ползучести имеет вид

где K(t — to) —ядро ползучести, характеризующее скорость пол­зучести при постоянном напряжении в грунте.

Особенностью моделей (7.36) — (7.38) является то, что де­формации грунта рассматриваются вне связи их с деформаци­ями трубопровода, имеющими четко выраженный упругий ха­рактер. Поэтому предельные деформации труб при действии растягивающих усилий ограничивают и предельные деформации грунта, даже обладающего свойством ползучести. Как показали опыты, проводившиеся по ползучести грунтов при продольных перемещениях труб, наблюдаются два основных вида ползу­чести— затухающая и незатухающая.

На рис. 7.11 изображены кривые ползучести при продоль­ных перемещениях труб и. Кривая / характеризует затухающую ползучесть, при которой грунт «ползет» при постоянном сдви­гающем усилии только в период времени 0—t ₁ (участок кривой О— а). Кривые 2 и 3 иллюстрируют незатухающую ползучесть, т. е. грунт «ползет» при постоянном сдвигающем усилии неогра­ниченное время. Естественно, что и деформация ползучести при этом может быть неограничен­ной. Отметим далее, что на уча­стках 0— а, 0 — б, 0— в ползу­честь неустановившаяся, т. е. имеет переменную скорость, а на участках далее точек а, б, в -установившаяся, т. е. грунт пол­зет с постоянной скоростью. Это очень важное обстоятельство, позволяющее при определении ползучих перемещений пользо­ваться простыми

зависимостями. Одной из основных характеристик, определяемых в опытах по ползучести грунтов при про­дольном перемещении труб, является так называемый предел длительной прочности грунта. Под пределом длительной проч­ности понимают касательное напряжение по конкретной поверх­ности труба — грунт t_lim, при котором ползучесть из затухаю­щей переходит в незатухающую. Учитывая сказанное, рассмот­рим, как происходит продольное перемещение прямолинейного полубесконечного трубопровода при длительном действии про­дольной силы. При этом будем иметь в виду, что ползучесть может проявляться как на участке упругой связи, так и на уча­стке пластичной связи. Интересно, что на участке упругой связи предельная величина упругих продольных перемещений ограни­чена значением т_пр/k_u· Но особая форма переформирования ча­стиц грунта в зоне контакта трубы с грунтом при длительном действии нагрузки позволяет, не изменяя картины напряжен­ного состояния грунта в целом, перемещаться трубопроводу на значительно большие расстояния, чем определяемые условием т„р//г„. Этот факт интересен прежде всего тем, что продольное перемещение происходит при значениях τ, существенно мень­ших τ_πρ. На рис. 7.12 показан участок упругой 1\ и пластичной /„ связей. На участке х\ при t<ti (ti — касательные напряже­ния, при которых начинают проявляться ползучие перемеще­ния) удлинения трубопровода за счет ползучести не будет; на участке х₂ при ti<tn_m ползучие перемещения будут затухаю­щими. Наконец, на участке х₃ при т^тц_т ползучие перемеще­ния не затухают до тех пор, пока полностью не будет исчерпана возможность материала труб к растяжению при продольной силе, которая действует в сечении х = 1_{. Эта сила Р = Р₀—

—яОпТпр/пл- ЕСЛИ /_Пл = 0, ТО Р = Р₀.

Для определения дополнительных, т. е. ползучих, перемеще­ний можно использовать модели (7.36) —(7.38), которые позво­ляют рассчитать дополнительное (за счет ползучести) продоль­ное перемещение трубопровода на любой момент времени дейст­вия нагрузки Ро. Но предельные дополнительные перемещения можно найти более просто.

Предельные ползучие перемещения. На участках /_пл и Хз т^тмт, поэтому длительное действие силы Ρ при f-»-oo приве к полному использованию упругих свойств грунта. Конец трубопровода в сечении х = 1\ + 1„_я переместится на величину

где и„ол — перемещения на участке х₂, определяемые упругими и ползучими деформациями грунта.

Используя для описания ползучих свойств грунта зависи­мость (7.37) при ί-*-οο, получим

Если принять в пределах участка х₂ среднее значение каса­тельных напряжений τ_ρρ(^₂) (см. рис. 7.12), то перемещение

Можно использовать для определения «_По_Л(*2) и уравнение перемещений с учетом ползучести, полученное нами на осно­вании экспериментальных данных:

где k\, ki, n\, n-i — коэффициенты, определяемые опытным путем на коротких отрезках труб.

Нестабилизированные ползучие перемещения. Под нестаби­лизированными будем понимать перемещения, определяемые ползучестью грунта в момент времени />0. Для определения нестабилизированных перемещений на участке /_пл можно ис­пользовать зависимость (7.36). Продольное перемещение конца участка /_пл только за счет ползучести будет

Величина и_пол(/пл) не может быть больше, чем позволяют упругие свойства материала труб, т. е.

где перемещение и_пл(1„_л) определяется по формуле (7.44), а деформация е — по формуле (7.37). Наибольшее значение "пол (0 не может быть выше, чем и_пр, определяемое по фор­муле (7.39).

В заключение необходимо отметить, что характеристики пол­зучести можно получить только опытным путем. Однако эти опыты требуют очень длительного времени. Поэтому при необ­ходимости можно пользоваться формулой (7.45) с учетом (7.37), в которой вязкость т)_д определяется довольно просто, например, по методу кольца и шара. Что касается предельных ползучих перемещений, то задача существенно упрощается введением ус­ловий, определяемых упругими свойствами трубопровода.

Расчетные характеристики грунтов. Примеры расчета продольных перемещений

Расчетные характеристики грунтов. Для определения продоль­ных перемещений трубопроводов необходимо иметь следующие физико-механические характеристики грунтов. Коэффициент постели грунта при сдвиге k_u численно равен сдвигающему на­пряжению т, которое вызывает продольное перемещение еди­ничной величины. Так, при &_и = 1 Н/см³ перемещение в 1 см вызывает касательное напряжение т= 1 Н/см². Обработка ре­зультатов многочислен-ных опытов показывает, что k_u зависит от вида грунта, его состояния и толщины слоя грунта, окру­жающего трубу. Это обстоятельство можно пояснить с помощью рис. 7.13. К трубопроводу диаметром О„ прило-жена продольная сила Ро. Допустим, что материал труб нерастяжим; при этом по всей длине поверхности труб возникают одинако­вые касательные напряже­ния т. До приложения на­грузки какая-то точка а находилась на вертикаль­ной линии А — А. После приложения ро труба пере­местится вперед на вели­чину и, которая будет за­висеть от толщины слоя грунта h. Так, при ft = fti и = ы_ь а при Л = Й2 и = ич. При этом для совершенно

одинаковых грунтов Uz>u\, поскольку h2>h1. Учитывая линей­ный характер зависимости касательных напряжений и переме­щений, можно использовать для определения k_u следующую формулу:'

По формуле (7.46) можно найти k_u для любого значения А₂, имея при этом хотя бы одно значение k_u для h\. Лучше всего его определить опытным путем. При отсутствии опытных дан­ных можно использовать ориентировочные значения k_u, полу­ченные при толщине слоя грунта 1 м (табл. 7.1).

Предельные касательные напряжения т_пр. Они зависят от вида, состояния грунта и средней глубины заложения труб в грунте. Сопротивление грунта сдвигу определяется по фор­муле Кулона т_пр=о^ф + с, где а — нормальное напряжение; Ф — угол внутреннего трения грунта; с — сцепление грунта. Та­ким образом, от того, насколько правильно определено а, за­висит и действительное т_пр- Были проведены опыты с трубами диаметром от 300 до 1400 мм, которые четко показали, что можно принимать в расчетах ст=9«р⁼Уест h и соответственно

где уест — удельный вес грунта в естественном состоянии; Л_ср — средняя глубина заложения трубопровода (см. рис. 7.13).

Величина Л_ср не может быть больше, чем высота свода обру­шения /г_гв, определяемая по М. Протодьяконову, А_Св = £//кр, где L = D» [1+2 tg (45°ф/2)]; f_Kp—коэффициент крепости грунта (табл. 7.2). Значения ф и с

определяются испытанием грунта на сдвиг в сдвижном приборе (ГОСТ 12248—78). При отсутст­вии этих данных можно воспользоваться ориентировочными рас­четными значениями ф и с, приведенными в табл. 7.2.

Характеристики ползучести. В зависимости от расчетной мо­дели грунта необходимо иметь т]_д в формулах (7.36) и (7.37) или так называемую меру ползучести К в уравнении (7.38). Если использовать уравнение (7.43), то необходимы данные о коэффициентах k\, k₂, п\ и п₂. Как уже отмечалось, все ха­рактеристики получают экспериментально. Эти эксперименты требуют весьма длительного времени проведения. Что касается динамической вязкости т)_д, то она сравнительно просто опреде­ляется по известному методу кольца и шара или на сдвижном приборе. При определении т]_д на сдвижном приборе коэффи­циент вязкости получают по формуле т)_д = т/г/у, где т —заме­ренные в условиях опыта касательные напряжения; h — свобод­ная высота образца, v — скорость смещения срезаемой части об­разца.

Опытами установлено, что значение т)_д глинистых грунтов в тугопластичной и мягкой консистенциях колеблется в преде­лах 10⁶—10⁹ Н • с/см². При очень мягкой и текучей консистен­ции оно составляет 10-¹⁰—10~¹² Н-с/см². Столь широкий диапа­зон изменения свидетельствует о необходимости определения характеристик ползучести для конкретных грунтов опытным путем.

Примеры расчета продольных перемещений. Во всех примерах примем следующие исходные данные: наружный диаметр труб £>_я=122 см, толщина стенки труб 6=1,2 см, площадь сечения стенки трубы /⁷=455 см², момент инерции / = 8,3- 10⁵ см⁴, момент сопротивления W=l,36- 10⁴ см³, площадь по­перечного сечения трубы Ф=1,012-10⁴ см², модуль упругости металла Е= =21 • 10^е Н/см², сила тяжести единицы длины труб <7тр=35,8 Н/см, давление продукта в трубе р=50 МПа, начальная температура стенки труб 1„ — 0 "С.

Пример 1. (Основной расчетный случай).

Полубесконечный трубопровод, температура которого составляет в рас­сматриваемый момент времени?=30 °С, расположен в глинистом заторфованном грунте мягкой консистенции на средней глубине /!_ср=150 см. Требу­ется найти продольное перемещение конца трубопровода и<>, находящегося под воздействием внутреннего давления р и температурного перепада А/= = t — to. Расчетная схема трубопровода показана на рис. 7.10. Продольное перемещение находим по формуле (7.31), предварительно определив недо­стающие составляющие этой формулы: т_пр, Я₀, An пр. Предельное касатель­ное напряжение т_пр находим по формуле (7.47); недостающие характери­стики грунта Veer, «рис необходимо определить лабораторным путем. При­мем ф и с, используя ориентировочные данные табл. 7.2: у<._ст=0,017 Н/см³, ф=11°, _с=3,3 Н/см². По формуле (7.47) т_пр = 0,017 • 150- 0,2+3,3=3,8 Н/см². Коэффициент постели грунта при сдвиге примем по табл. 7.2: k_u = = 1,5 Н/см'. Граничное значение продольной силы найдем но формуле

где «I — коэффициент линейного расширения материала труб; для металла а₍=1,2-Ю-⁵ 1/°С. Подставляя в формулу (7.48) необходимые данные, по­лучаем Р<н=500-1 -0,12-10⁴+1,2 -Ю-⁵ -21 -10^е -455 -30=8,49 -10^е Н. Пре­дельную силу poi п_г найдем по формуле (7.30), где Р определяется по фор­муле (7.28)

Таким образом, мгновенное перемещение конца полубесконечного трубопро­вода в рассмотренных условиях составит 3,81 см.

Пример 2. Определим и_пр (условия см. в примере 1) с учетом ползуче­сти грунта (в этом и последующих примерах цифровые расчеты не приво­дятся). Будем считать, что трубопровод должен работать время, достаточ­ное для полного проявления ползучести. Это позволяет воспользоваться уравнением (7.39), в котором перемещение и_пол(*2) находим по формуле (7.40).

В формуле (7.39) названа длина участка Хг- Найти ее можно, построив эпюру T=f(jc) и графически определив сечение х_г, где т<Тц_т можно полу­чить аналитически по формуле (7.42).

В формуле (7.42) неизвестны тц_т и 1\. Для определения Тнт можно воспользоваться следующим соотношением Тц_т/Тпр:

В рассматриваемом примере грунт — глина мягкопластичмая, Тц_т^= = т„р -0,6 = 2,28 Н/см². Что касается определения Л, то ее можно принять 3,5/р. Учитывая, что Р найдено в примере 1 и равно 0,25-10~³ 1/см, находим fi = l,4-10⁴ см. Подставляя далее в (7.42) необходимые значения величин, получаем дс₂=1,18-10* см. По формуле (7.41), приняв T_t=0,6 Тц_т, находим ДС| = 1,01-10* см. Далее, приняв т_ср=0,7 Тц_га=1,6 Н/см², находим по фор­муле (7.40) «_Пол(*2) =7,26 см. В выражении (7.39) осталось неизвестным

Подставив в нее необходимые составляющие, получим /_пл = 1,67-10³ см. По формуле (7.39) находим предельное значение продольного перемещения

только /_Пл. Его мы находим по формуле

конца трубопровода с учетом ползучести грунта u_np = 10,14 см. Сравнив мгновенные перемещения и» (см. пример 1) и ы_пр, видим, что учет ползу­чести грунта приводит к увеличению перемещения конца трубопровода в 2,66 раза. Следует отметить, что нарастание перемещений за счет ползу­чести происходит очень медленно. Это важно иметь в виду при проектиро­вании и эксплуатации трубопроводов.

Пример 3. Определить продольное мгновенное перемещение конца полу­бесконечного трубопровода, испытывающего упругий отпор перемещению по линейному закону. Такой случай может иметь место, например, при пово­роте трубопровода в вертикальной или горизонтальной плоскости (рис. 7.14). Грунт препятствует продольному перемещению по закону r|Uo, и действи­тельное значение растягивающей силы определяется как Я_Д = Я₀— 1\и<>, где tj — коэффициент упругого отпора перемещающемуся концу трубопровода. В рассматриваемом примере, приняв упругую модель грунта, коэффициент отпора Г) = *5₀Ф, где kit — коэффициент постели грунта при сжатии (табл. 7.3); Ф — площадь опирания конца трубопровода о грунт.

Пусть сечение х—1 расположено в свеженасыпанном песке с fe₀ = 5 h/cm^s. Площадь опирания равна площади сечения трубы, т. е. Ф=1,012-10⁴ см². При этом т) = 5,06- 10* Н/см. Как и в предыдущих примерах, P₀=8,49'10^e H; Poinp = 6,05-10«Н; 0 = 0,25-10-» 1/см; т„р = 3,8 Н/см²; *„ = 1,5 Н/см³. Гра­ничное перемещение «о находим по формуле (7.34), вычислил предвари­тельно/1 и В по формуле (7.35): Л = 8,36-10«; В = 2,78-10". По формуле (7.34) и„=3,73 см.

Принятое в качестве упругого отпора сопротивление слабого свежена­сыпанного песка по торцу трубы приводит к уменьшению перемещения по сравнению со свободным концом (пример 1) на 0,08 см. При более значи­тельном отпоре например, за счет специального опорного устройства, раз­ница будет большей.

Пример 4. Определить перемещение трубопровода I, соединенного с трубопроводом 2 (рис. 7.14, б) и расположенного в песчаном грунте.

Перемещение и₀ находим по формуле (7.34), как и в предыдущем при­мере. Значение упругого отпора перемещения найдем, рассматривая трубо­провод 2 как балку в упругой грунтовой среде:

Подставив в (7.50) значение величин, находим a=l,72-10~³ 1/см. По фор­муле (7.49) г)=7,09-10⁵ Н/см, т. с. в 14 раз больше, чем в предыдущем случае.

Прежде чем определить по формуле (7.34) ц₀, нужно по формуле (7.33) найти Uo и сравнить его с и_Пр=Тп_Р/£„. Если окажется, что uoi<"n_p, то рас­чет по формуле (7.34) не требуется, так как участок /_пл не образуется. При "oi>u_np его необходимо определить по формуле (7.33). Выполняя вычисле­ния, находим

По формуле (7.29) и₀щр = 2,53 см. Поэтому граничное перемещение следует определять по формуле (7.34). Выполнив вычисления, получим и₀=2,75 см.

Сравнив мгновенные перемещения в примерах 1, 3 и 4, имеем и₀ = = 3,81 см (свободный конец трубы), и₀=3,73 см (т) = 5,06-10⁴ Н/см), Uo-= =2,75 см (ti = 7,09 • 10⁵ Н/см). Эти данные наглядно иллюстрируют важность учета упругого отпора. Наконец, пример 2 показывает исключительное зна­чение учета ползучести грунта.

Возвращаясь к примеру 4, определим силу, с которой трубопровод 1 дей­ствует на трубопровод 2:

Упругий изгиб трубы 2 уменьшает действие продольной силы со сто­роны трубы /.

Раздел IV