Численное дифференцирование

При численном дифференцировании функцию f(x) аппроксимируют легко вычисляемой функцией j(x), полагая f’(x)»j’(x), при этом используются различные способы аппроксимации.

Рассмотрим три соседних узла сетки, на которой задана функция x_0, x_1, x₂ ; x₁-x₀=x₂-x₁=h. Тогда, для первой и второй производных в узле x₁ можно записать:

Оценка точности численного дифференцирования и интегрирования. Для оценки точности численного решения часто применяется т. наз. формула Рунге, позволяющая оценить главный член погрешности по результатам, полученным на разных сетках. В частности, для двух равномерных сеток с шагом, соответственно, h₁ и h₂, h₁ = 2 h₂, можно записать:

R =x(x,h)-x(x,h/2),

где R – главный член погрешности вычислений. Иными словами, погрешность вычислений на первой сетке не превосходит разницы между вычислениями на этой сетке и другой, со вдвое меньшим шагом (с точностью до членов более высокого порядка). Это правило должно использоваться в тех заданиях, которые требуют дифференцирования либо интегрирования с заданной точностью.