Численное интегрирование

Пусть требуется найти определенный интеграл.

При численном интегрировании f(x) заменяют на некоторый интерполяционный полином.

Тогда

,

где r(x) – остаточный член. Для интеграла получим:

где x_i называют узлами, с_i – весами, а R – погрешностью или остаточным членом формулы.

Формула средних. Заменим подынтегральную функцию полиномом нулевой степени, проходящим через середину интервала интегрирования (см. рис. 1).

В этом случае интеграл на интервале [a,b] можно представить следующим образом:

Рис. 1.

Формула трапеций. Заменим подынтегральную функцию полиномом первой степени, проходящим через точки f(a) и f(b) (см. рис. 2).

Рис. 2.

В этом случае интеграл на интервале [a,b] можно представить следующим образом:

Формула Симпсона. Формула Симпсона получается при введении аппроксимации полиномом второго порядка на интервале [a,b]. Естественно, что использование параболы для приближенного представления подынтегральной функции требует рассмотрения трех точек на интервале интегрирования. Введем в рассмотрение узлы сетки x₀=a, x₂=b и x₁=(a+b)/2. Обозначим h=x₁-x₀=x₂-x₁ . Тогда формулу Симпсона на интервале [ a,b ] можно записать следующим образом:

Общие замечания. Поскольку величина b-a не мала, то точность изложенных методик оставляет желать лучшего. Для повышения точности на отрезке [ a,b ] вводят достаточно густую сетку a=x₀<x₁<x₂…<x_n-1<x_n=b, а интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки. Во многих случаях шаг сетки принимается постоянным. Во всех заданиях, связанных с численным интегрированием, необходимо представлять значение интеграла как сумму интегралов по шагам сетки, шаг сетки принимать постоянным.