Тема: Интеграл и его приложения

По данной теме сначала изучите § 45-52 гл.8,9 [l]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по данной теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Решите задачи № 11-13, приведенные в пособии.

Неопределенный интеграл. Дифференцирование - это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная. Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегриро­вания по данной производной находится сама функция. Например, если

F^/(x) =7x⁶, то F(x) = х⁷ так как (х⁷)^/ = 7x⁶.

Дифференцируемая функция F(x), х (а;b) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если F'(x) = f(x) для каждого х (а;b).

Совокупность всех первообразных функций f(x) на интервале (а;b) называют неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут =F(x) + C. Здесь f(x)dx - подынтегральное выражение; f(x) -подынтегральная функция; х - переменная интегрирования; С - произвольная постоянная.

Например, , так как

Приведем основные свойства неопределенного интеграла.

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному

выражению:

d dx=f(x)dx.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.

df(x) = F(x) + C.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

12. 13. 14 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

Методы интегрирования:

Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании свойств неопределенного интеграла и табличных интегралов.

Пример 1. Найти .

Решение. Имеем,

= + +

Метод подстановки. Сущность интегрирования методом подстановки заключается в преобразовании интеграла в интеграл F(t)dt, кото­рый легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Пример 2. Найти .

Решение. Произведем подстановку 2-3x² = t; тогда dt = - 6xdx, xdx=

Далее получаем,

Определенный интеграл. Непосредственное вычисление определенного интеграла производится по формуле Ньютона-Лейбница: = F(x) = F(b)-F(a), где а - нижний предел, b - верхний предел, F(x) - какая-нибудь первообразная функции f(x).

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1) Находят одну из первообразных F(x) данной функции;

2) находят значе­ния F(x) при х = а и х = b

3) вычисляют разность F(b) - F(a).

Приведем основные свойства определенного интеграла.

1. При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на противоположный: =-

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
= +

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: = c

4.Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых: =

Методы интегрирования определенного интеграла (Те же что и для неопределенного интеграла):

1. Непосредственное интегрирование.

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрица­тельным показателем и вычислим определенный интеграл:

3 =

3 3 (2 - 1) = 3

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. 1) Положим cos х = t; тогда t = -sin xdx и sin xdx = - dt.

2) Определим пределы интегрирования для переменной t: t_н = Сos0 = 1; t_в = Сos = 0.

3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и, перейдя к новым
пределам, получим

= =- .

Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции аАВb, ограниченной графиком непрерывной функции у = f(x), отрезком [а;b] оси Ох, отрезками прямых х = а и х = b, вычисляется по формуле S = .

Площадь фигуры ABCD, ограниченной графиками непрерывных функций у =f(x) и у = g(x), где x [a;b], отрезками прямых х = а и х = b, вы­числяется по формуле

S =

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = x² и у² х.

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересе­чения графиков функций у = х² и у² = х. Для этого решим систему

х⁴ = х, х(х³ –1) = 0, х = 0 и х = 1.

Искомую площадь вычисляем по формуле S = при f(x) = х², g(x)= : S = =