Теорема доказана

Заметим, что соотношения (2) были известны уже Диофанту (ок. 250 г.)

§ 2 Целочисленные треугольники с углом 60°

Длины сторон a, b, c треугольников с углом 60° удовлетворяют уравнению

, (3)

получающегося из тех же соображений, что и уравнение (1). Здесь также можно искать натуральные решения уравнения (3), развивая соответствующую теорию.

Однако мы поступим более хитрым образом. На сей раз алгебре будет помогать геометрия. Оказывается, всякий треугольник с углом 60° родственен некоторому треугольнику м углом 120°. Вот как устанавливаются эти «родственные узы».

Вначале заметим, что есть к углу 60° в треугольнике примыкают две равные стороны a=b, то в соответствии с (3) получает a=b=c. Итак, уравнение (3) допускает тривиальное решение a=b=c=n, где n−любое натуральное число. Пусть теперь к углу 60° в треугольнике примыкают две различающиеся по длине стороны. Без ограничения общности будем полагать b>a. Выделив внутри данного треугольника правильный треугольник с длинной стороны a, получим дополнительный к нему треугольник с длинами сторон a,

b-a, c и углом 120°(см. рис)

Про этот дополнительный треугольник («родственный» исходному) мы уже все знаем. Осталось только применить разработанную выше теорию к дополнительному треугольнику с углом 120°, а затем распространить результат на исходный треугольник.

Источники:

1. Д. В. Аносов «Взгляд на математику и нечто из нее.»
М.: МЦНМО, 2003. — 24 с. (Библиотека "Математическое просвещение", выпуск 3)

2. Физико-математический научно-популярный журнал «Квант» г.2002 №5